2.1.1. Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства, задача оптимального распределения ресурсов).

Дано: Для изготовления n видов продукций P1, P2,…, Pn используется ресурсы S1, S2,…, Sm, запас которых ограничен - b1, b2,…, bm. Норма затрат ресурсов на изготовление единицы продукций (технологический коэффициент) - aij, то есть это число единиц ресурса Si затрачиваемого на изготовле­ние единицы продукции Pj . Обозначим так же cj - прибыль от реализации единицы продукции Pj.. В планируемый период все показатели предполагаются постоянными. Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Комментарий: Для удобства представления сведем данные задачи в табличный вид.

Вид ресурса	Запас, ед		Расход ресурса на ед. продукции
			P1		P2		…		Pn
S1	b1		a11		a12		…		a1n
S2	b2		a21		a22		…		a2n
…	…		…		…		…		…
Sm	bm		am1		am2		…		amn
Прибыль от ед. продукции, руб		c1		c2		…		cn

Суть задачи и логика решения достаточно проста. Благодаря этому во многих источниках именно эта задача является очень популярной для объяснения принципов оптимизации. Давайте взглянем на эту задачу с точки зрения менеджмента реальной социально-экономической системы: Во-первых, результат решения дает ответ на вопрос об эффективных объемах продукций по каждому виду, соответственно можем отнести к стадии планирования структуры и объемов ресурс ориентированного производства. Здесь стоит отметить, что в эпоху рыночной экономики основным подходом планирования является клиент ориентированность, соответственно следует быть осторожным в применении данной типовой задачи. Рассмотрим такой пример, некий завод производит бытовые товары: миксеры, мясорубки, кофе машины, микроволновки и т.д. Существующее структурное подразделение применяет маркетинговые приемы определения спроса. Пусть на основе их данных к производству планируется 300 тыс. шт. миксеров, 180 тыс. шт. мясорубок, 400 тыс. шт. кофе машин, 100 тыс. микроволновок. При замене клиент ориентированного подхода на ресурс ориентированный эффективным может оказаться только производство 2 мл. шт. миксеров, а от остальных следует вообще отказаться. Возникает новая проблема реализации оставшихся 1,6 млн. шт. миксеров и создавшегося вакуума спроса на остальные позиции.

Во-вторых, необходимо оценить актуальность решения и адекватность применения оптимизационных инструментов. Иными словами, оптимизация применяется в целях повышения эффективности существующих операций, т.е. для которых уже сформировано определенное видение реализации операций. Чтобы изменить сложившийся уклад, необходима побуждающая причина, например, сезонный спрос, новые объемы, программа повышения эффективности производства, амортизация и старение фондов, дефицитность ресурсов. То есть актуальность исследования, ставшая причиной высокой востребованности решения данной проблемы. Актуальность решения безусловно должна подтверждаться последующей рентабельность затрат на решение и получаемой выгоды. Далее мы подробно рассмотрим примеры задач приближенных к реальным условиям, где подробно остановимся на этом моменте моделирования. Обоснование адекватности применяемого инструментария очевидно для управленца. Целевой функцией является прибыль, которая зависит как от эффективности использования ресурсов, так и от многих других факторов, например, себестоимости, цены на продукцию, маркетинговые стимуляции и т.д. С точки зрения управленческих затрат, значительно дешевле будет решение повышения средних цен на продукцию, нежели оптимизация объемов, для которой требуется не дешевый специалист-аналитик, время на сбор, обработку и анализ информаций, моделирование бизнес процессов, затраты на внедрение нового управленческого инструмента. В связи с этим логичным будет предположение, что в малом производстве весьма неразумно применение оптимизационных инструментов. Операция должна быть систематической или глобальной по объемам, чтобы в последующем суметь перекрыть расходы на ее оптимизацию.

В-третьих, в условии задачи ресурсы абстрактно перечислены S1, S2,…, Sm. Подразумевается, что исследователь должен иметь представление о ресурсах, используемых для изготовления продукции. Для этого требуется перечислить эти ресурсы, определить единицы их измерения и нормы затрат. В прикладном применении ресурс уже не является абстракцией, а должен иметь конкретное название, тип, форму и т.д. Например, все известно, что для изготовления стула может применяться дерева или металлическая труба, но ни то, ни другое не может являться ресурсом в задаче. Дерево или металлическая труба – это абстрактное (обобщенное) название материала, а вот деревянный полированный брусок размером 45х45 из дуба II категории просушки или фанерный лист размером 400х400 толщиной 8 мм. вполне естественные ресурсы применяемые в производстве. Так же следует учесть и то, что для производства может потребоваться значительный перечень ресурсов, но нет смысла включать их все в анализ. С целью уменьшения объема модели из всего перечня желательно выбрать только действительно дефицитный набор. Скорее всего, в современном мире в большинстве случаев понятие дефицитности теперь уже носит относительную смысловую нагрузку. Скорее следует понимать не как мера распространенности, а как способность обеспечить производство необходимым количеством ресурса в период планирования задачи. Именно период планирования накладывает ярмо дефицитности на ресурс. Период планирования весьма важный аспект в оптимизации: значительный временной промежуток планирования может перевести задачу в класс динамических, потому что в длинной перспективе необходимо учитывать колебание цен. Как известно в нашей стране в год один или два раза бывает индексация цен, сезонные колебания спроса и предложения и т.д. В промышленности период планирования совпадает с производственным циклом, в рамках которой закладывается бюджет, то есть если заложено на закупку материала определенная сумма, то увеличение этой стоимости в последующем весьма затруднительно.

В четвертых, кроме конкретики и дефицитности в литературе забывают напоминать, что классические учения производственные ресурсы подразделяют на три категории: трудовые ресурсы, сырье и основные фонды². Трудовые ресурсы измеряются в человеко-часах, основные фонды могут измеряться амортизационными единицами или в часах использования.

В пятых, есть определенные нюансы применения технологических коэффициентов, которые напрямую предопределяют выбор единицы измерения продукции. Говоря о продукции, так же не стоит забывать о чрезмерном абстрагировании, о которой мы говорили выше. На практике могут встречаться задачи двух видов.

социально-экономическая система – предприятие в целом, результат оптимизации – как инструмент стратегического анализа. В таком случае допускается определенная абстракция продукции, если коэффициенты затрат ресурсов соизмеримы между собой. Например, малогабаритные компьютерные столы малой комплектации.

социально-экономическая система – отдельный цех или производственный цикл, результат оптимизации – как инструмент оперативного анализа. В таком случае не допускается абстракция продукции (стол столу рознь).

Источниками сведений о технологических коэффициентах являются рецептура или регламент изготовления продукции, статистические измерения расходов ресурса, бухгалтерские сводки и др. подобные источники информации. Все значения необходимо перевести к одной единице измерения продукции.

Для обширного анализа, удобным и даже необходимым является представление производственного цикла (операции) в виде бизнес процессов в терминах формализованного языка управления IDEF0 или UML. Эти языки позволяют четко определить границы социально-экономической системы, выявить экзогенные и эндогенные факторы модели.

Решение: Согласно условию требуется определить оптимальный объем производства по каждому виду продукции. Обозначим через xj - число единиц продукции Pj, запланированной к производству тогда постановку проблемы можно сформулировать так: найти такой план X = (x1, x2, ... ,хm) выпуска продукции, при которой потребность в запасах ресурсов не превысит заданный объем, а план будет эффективным с точки зрения ресурс ориентированности. Плановые затраты ресурсов характеризуются линейными выражениями. Например, затраты на единицу первого вида продукции указаны в условии – a11, соответственно на x1 шт. можно вычислить как . Этот же ресурс участвует и производстве второго, третьего и т.д. вида продукции. Таким образом, просуммировав частные - , сможем вычислить фактическое использование ресурса S1 при заданном плане (x1, x2, ... ,хm). Первое неравенство в системе ограничений позволяет задать условие ограниченности этого ресурса. Аналогичные рассуждения по всем остальным видам ресурсов. Экономико-математическая модель задачи в общей постановке примет вид:

Н айти такое решение системы ограничений, при котором функция F= с₁х₁ + с₂х₂ +...+ с_nх_n, принимает максимальное значение.