МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ
УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до лабораторних робіт з дисципліни
«ТЕОРІЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ ТА СИГНАЛІВ»
для студентів усіх форм навчання
напрямку 6.050903 «Телекомунікації»
ЗАТВЕРДЖЕНО
кафедрою ТКС
Протокол №
від " " ________ 2013 р.
Харків 2013
Методичні вказівки до лабораторних робіт з дисципліни «Теорія електричних кіл та сигналів» для студентів усіх форм навчання напрямку 6.050903 «Телекомунікації» / Упорядник: Шостко І. С. – Харків: ХНУРЕ, 2013. – с.
Упорядник: Шостко І. С., докт. техн. наук, проф. каф. ТКС
Рецензент Лошаков В. А., докт. техн. наук, проф. каф. ТКС
ЗМІСТ
Вступ |
|
|
|
1 Преобразование Фурье. Cпектральный анализ сигналов |
|
|
|
2 Генерация сигналов в пакете Simulink и оценка их энергетических характеристик |
|
|
|
3 Оценка спектральных характеристик сигналов в пакете Simulink |
|
|
|
4 Синтез цифровых фильтров и фильтрация сигналов в пакете Simulink |
|
|
|
5 Принципы корреляционного анализа сигналов |
|
|
|
Рекомендована література |
|
Позначення та скорочення
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ
1 Преобразование фурье. Спектральный анализ сигналов
1.1 Мета роботи: получить навыки работы с преобразованием Фурье и дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) при нахождении спектра сигналов в среде MATLAB. Изучить свойства АЧХ и ФЧХ.
1.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів.
Під час підготовки до лабораторної роботи необхідно вивчити тему преобразование Фур’є, та тему дискретне преобразование Фур’є.
Теоретические сведения. Преобразование Фурье.
Кроме временного представления сигналов, где сигнал это функция времени s(t), при анализе и обработке сигналов, используется также частотное представление сигнала в виде функции частоты S(f) . Функции s(t) и S(f) связаны друг с другом преобразованием Фурье.
(1)
Здесь первое выражение называется прямое преобразование Фурье, а второе выражение называется обратное преобразование Фурье. Функция S(f) называется спектром сигнала s(t).
Функция S(f) является комплексной функцией, и может быть представлена в алгебраической и показательной форме.
.
Из спектра S(f) можно получить амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) A(f) и фазово-частотную характеристику (ФЧХ) (f) сигнала, с помощью соотношений.
.
(2)
Отметим
некоторые из свойств, преобразования
Фурье. Первое, если сигнал
вещественная функция, то для спектра
S(f)
выполняются следующие соотношения
четности
Здесь звездочка означает комплексное сопряжение. Из этих соотношений видно, что для вещественного сигнала, АЧХ - четная функция, а ФЧХ – нечетная функция.
Второе, если сигнал вещественная четная функция времени
,
то для спектра выполняются следующие соотношения
Здесь мнимая часть спектра равна нулю.
Третье, если сигнал вещественная нечетная функция времени
,
то для спектра выполняются следующие соотношения
Здесь действительная часть спектра равна нулю.
В качестве первого примера рассмотрим прямоугольный импульс, центрированный относительно начала отсчета времени и имеющий длительность .
Вычисляем спектр S() с помощью прямого преобразования Фурье
.
Здесь использована циклическая частота = 2 f. При нахождении АЧХ и ФЧХ надо учесть, что рассматриваемый прямоугольный импульс является действительной четной функцией времени. Следующие рисунки показывают импульс и его АЧХ и ФЧХ.
Рисунок 1.1 – Прямоугольный импульс и его АЧХ и ФЧХ
Обратим внимание на то, что сигнал действительная четная функция. Поэтому АЧХ четная функция, ФЧХ нечетная функция.
Спектр данного сигнала (АЧХ) простирается до бесконечности, постепенно затухая. Поэтому вводят понятие эффективной ширины спектра. Как видно из графиков, спектр имеет лепестковый характер и ширина главного лепестка равна
.
При лепестковом характере спектра за эффективную ширину спектра принимают ширину главного лепестка. Длительность прямоугольного импульса равна
.
Произведение эффективной ширины спектра сигнала на длительность сигнала называется базой сигнала (processing gain).
.
Для каждого сигнала это свое число. В случае прямоугольного импульса это есть
.
Из этих соотношений видно, что чем короче сигнал, тем шире его спектр и наоборот. Это положение называют соотношением неопределенности. Существует утверждение, что для любого сигнала база сигнала не может быть меньше единицы.
В литературе, посвященной теории сигналов, встречается определение базы сигнала отличающееся от приведенного определения на 2 . В этом определении эффективная ширина спектра , измеряемая в рад/с, заменяется на ширину спектра f , измеряемую в герцах.
.
Второй пример. Рассмотрим односторонний экспоненциальный импульс
где a > 0 произвольное положительное число.
Вычисляем спектр S() с помощью прямого преобразования Фурье
.
Следующие рисунки показывают экспоненциальный импульс и его АЧХ и ФЧХ
Рисунок 1.2 – Экспоненциальный импульс и его АЧХ и ФЧХ
Для экспоненциальных сигналов в качестве длительности сигнала обычно берется время, при котором амплитуда сигнала убывает e = 2.7…раз. Поэтому длительность экспоненциального сигнала равна
.
Будем определять эффективную ширину спектра по уровню 0.1 от максимума. Из графика видно, что эта ширина составляет примерно
.
Таким образом, база экспоненциального сигнала равна
.
Третий пример. Рассмотрим спектр периодического сигнала. Пусть это будет гармонический сигнал с частотой f1.
.
Используя формулу Эйлера просто получить спектр этого сигнала.
Далее используем интегральное представление дельта-функции.
.
Поэтому спектр сигнала есть суперпозиция дельта-функций.
.
Рассматриваемый сигнал есть действительная четная функция, поэтому по всем правилам мнимая часть спектра равна нулю, действительная часть показана на рисунке.
Рисунок 1.3 – Действительная часть спектра сигнала
Возьмем в качестве гармонического сигнала нечетную функцию.
.
В этом случае получаем следующий спектр сигнала.
.
Рассматриваемый сигнал есть действительная нечетная функция, поэтому действительная часть спектра равна нулю, мнимая часть спектра показана на рисунке
Рисунок 1.4 – Мнимая часть спектра сигнала
Если рассматривать произвольный периодический сигнал, то, как известно, его можно разложить в ряд Фурье. Поэтому любой периодический сигнал есть суперпозиция синусов и косинусов с разными частотами. Поэтому спектр любого периодического сигнала есть сумма дельта-функций с разными частотами и разными амплитудами. График спектра в этом случае представляет собой набор стрелок разной длины и направленных вверх или вниз. Такой спектр называют линейчатым спектром. Рассмотренные ранее спектры называют сплошным спектром. Для линейчатого спектра не имеет смысл ФЧХ как функция частоты (f). АЧХ периодических сигналов имеет линейчатую структуру.
Теоретические сведения. Дискретное преобразование Фурье.
Если преобразование Фурье сводится к аналитическим выражениям, то задача нахождения спектра сигнала решается просто. Чаще всего этого сделать невозможно, поэтому приходится вычислять интеграл Фурье численными методами. Рассмотрим финитный сигнал s(t). Выберем временной интервал t [ -T/2, T/2 ] такой, чтобы вне этого интервала сигнал равнялся нулю s(t) = 0.
Рисунок 1.5 – Финитный сигнал s(t)
Тогда спектр S(f) такого сигнала будет равен интегралу с конечными пределами.
.
(3)
Этот интеграл можно вычислить разными численными методами с большей или меньшей точностью. Мы выберем метод прямоугольников. Проведем дискретизацию сигнала с шагом дискретизации
,
где N четное число. Отсчеты сигнала sn = s(tn) берем в дискретные моменты времени
.
В методе прямоугольников интеграл (3) заменяем следующей суммой
.
(4)
Мы собираемся вычислять эту сумму, используя дискретное преобразование Фурье (ДПФ) из пакета MATLAB. Прямое и обратное преобразование ДПФ задаются следующими суммами
(5)
Чтобы сумма (4) приняла вид прямого преобразования ДПФ, надо перейти к дискретному набору частот по формуле
.
Здесь интервал дискретизации f на оси частот определяется соотношением
.
т.е. интервал f обратно пропорционален интервалу интегрирования T. Спектр сигнала теперь определяется только при дискретных значениях частот
.
Формула спектра (4) для дискретных значений частоты fm принимает вид.
.
(6)
Частотный спектр по формуле (6) определяется только в интервале частот
.
Здесь максимальное значение частоты равно
.
Как известно, выражение в правой части это равенства есть частота Найквиста (Nyquist)
.
Таким образом, максимальная частота равна частоте Найквиста. Поэтому Формула (6) позволяет описывать спектр таких сигналов, у которых частоты не превышают частоту Найквиста.
Формулы (6) для спектра S(f) и (5) для прямого преобразования ДПФ похожи друг на друга, но не совпадают полностью. Отличие этих формул в интервалах изменения индексов. Поэтому прежде чем использовать ДПФ для нахождения спектра нужно проделать некоторые преобразования. Эти преобразования рассмотрим по пунктам.
1) Умножим уравнение (6) на экспоненту
.
В результате получим выражение
.
(7)
2) В сумме (7) сделаем замену индексов
.
В результате получим следующее выражение
.
3)
Обозначим отсчеты сигнала
через последовательность xn
в преобразовании ДПФ (5) по формуле
.
В результате получим выражение
.
(8)
4) Индекс m меняется в интервале
.
(9)
Разобьем этот интервал на две части. Рассмотрим сначала правую часть этого интервала
.
Сделаем замену индексов в уравнении (8).
.
В результате получим следующее выражение
.
(10)
Теперь сумма в уравнении (10) полностью совпадает с Xk прямым дискретным преобразование Фурье (5). Таким образом, мы получаем формулу для вычисления половины спектра
.
(11)
5) Теперь рассмотрим левую часть интервала (9)
.
Сделаем теперь другую замену индексов в уравнении (8).
В результате получим выражение
.
(12)
В уравнении (12) преобразуем экспоненты. Так как N четное число, то
целое
число. Целым число является также p
– 1. Поэтому
все экспоненты имеют одинаковый вид
,
(13)
где M целое число. Преобразуем экспоненту (13).
.
Здесь одна из экспонент равна единице по формуле Эйлера
.
После этих преобразований, уравнение (12) принимает вид
.
(14)
Теперь сумма в уравнении (14) полностью совпадает с Xk прямым дискретным преобразование Фурье (5). Таким образом, мы получаем формул для вычисления другой половины спектра
(15)
Таким образом, формулы (11) и (15) позволяют найти спектр сигнала, используя дискретное преобразование Фурье (5). Подведем итог в виде алгоритма вычисления спектра сигнала.
1. Имеем отсчеты дискретного сигнала.
.
2. Вводим последовательность xn, связанную с отсчетами следующим образом.
.
Для примера, положим N = 6 и покажем соответствие между последовательностями sn и xn.
3. Далее выполняем дискретное преобразование Фурье (5) над последовательностью xn и получаем новую последовательность
.
4. Далее получаем не упорядоченный спектр
.
5. Получаем упорядоченный спектр по формулам
Для нашего примера N = 6 укажем соответствие между упорядоченным и не упорядоченным спектрами
Замечание 1. Если сигнал s(t) вне интервала интегрирования T не равен нулю, то спектр будет вычисляться приближенно. Для улучшения результатов интервал интегрирования надо увеличить.
Замечание 2. Дискретное преобразование Фурье в нашей задаче появилось, когда интеграл Фурье мы стали вычислять приближенно по формуле прямоугольников. Поэтому точность вычисления зависит от шага дискретизации t. Чем меньше шаг, тем точнее результат.
Замечание 3. Дискретное преобразование Фурье мы используем для вычисления спектра финитных сигналов. Казалось бы, что для вычисления спектра периодических сигналов (которые являются инфинитными) этот способ не подойдет. Однако это не так. Этот метод прекрасно подходит для анализа спектра периодических сигналов. Более того, ДПФ был придуман для работы с периодическими сигналами. Ограничение только состоит в следующем. Данный метод позволяет описывать спектр таких сигналов, у которых частоты не превышают частоту Найквиста.
1.3 Опис лабораторної установки
Лабораторна робота буде виконуватися в програмі " MATLAB ".
1.4 Порядок виконання роботи
Работа состоит из трех частей. 1) Анализ спектра финитных сигналов: аналитический метод, метод ДПФ. 2) Нахождение базы финитного сигнала. 3) Анализ спектра сложного периодического сигнала.
1.4.1 Анализ спектра финитного сигнала
Для анализа будем использовать два финитных сигнала, заданных следующими соотношениями.
Сигнал заданный четной функцией.
Сигнал заданный нечетной функцией.
1. Посмотрите свой вариант задания. В каждом варианте задана четность функции, частота f0 и длительность импульса a .
2. Возьмите свой сигнал s(t), подставьте в прямое преобразование Фурье (1), проинтегрируйте и получите спектр Вашего сигнала S( f ) в аналитической форме.
3. Войдите в среду MATLAB, и напишите программу, которая строит графики сигнала, действительной и мнимой частей спектра Вашего варианта по заданным аналитическим формулам.
Замечание. Прежде чем писать программу, изучите предлагаемый пример для прямоугольного импульса.
Первое на что надо обратить внимание, это как задать финитный сигнал. Для получения финитного сигнала можно использовать библиотечную функцию rectpuls() . Например сигнал с четной функцией, длительностью a надо задать так
Второе. Найдите место в программе, где вычисляется спектр сигнала, и сделайте замену на полученную Вами аналитическую формулу спектра.
Третье. Успешная работа программы зависит от правильного выбора параметров программы. Это следующие параметры.
T - временной интервал для вывода графика
dt - шаг вывода график по оси времени
fb - частотный интервал вывода графика
df - шаг вывода графика по оси частот
В идеальном варианте студент должен сам подобрать эти параметры. Для первого приближения можно рекомендовать следующие правила выбора параметров
4. Запустите программу с параметрами данного варианта. Покажите результат преподавателю. В конспекте зарисовать графики. Объяснить характер поведения спектра. Обратите внимание на четность или нечетности сигнала.
5. Напишите программу в среде MATLAB, которая находит спектр вашего сигнала с помощью дискретного преобразования Фурье. Программа должна строить графики сигнала, действительной и мнимой частей спектра Вашего варианта, а также АЧХ сигнала.
Замечание. Прежде чем писать программу, изучите предлагаемый пример для прямоугольного импульса. Обратите внимание на выбор параметров программы. Некоторые из этих параметров принимают дополнительный физический смысл.
T - интервал интегрирования в преобразовании Фурье.
dt - шаг дискретизации.
Рекомендации по выбору значений параметров для заданного варианта указаны выше.
6. Запустите программу с параметрами данного варианта. Покажите результат преподавателю. В конспекте зарисовать графики. Найти частоту Найквиста (используйте теорию ДПФ ). Оцените точность нахождения спектра, сравнивая с результатом, полученным по аналитическим формулам. Каким способом можно увеличить точность расчетов.
Ниже приведены коды программ, данных в качестве примеров.
В качестве примера приводится код программы для прямоугольного импульса.
----------------------------------------------------------------------------------------------------
%прямоугольный импульс - аналитические формулы спектра
a = 2; %длительность импульса (с)
T = 20; %интервал временной вывода графика (c)
dt = 0.1; %шаг вывода график по оси времени (с)
t = -T/2:dt:T/2; %дискретные моменты времени (c)
s = rectpuls(t/a); %отсчеты сигнала
figure;
plot(t, s);
axis([-T/2 T/2 0 1.5]);
xlabel('t (c)');
title('Signal s(t)');
grid on;
fb = 2; %интервал частотный вывода графика (Hz)
df = 0.01; %шаг вывода графика по частоте (Hz)
f = -fb:df:fb; %дискретные значания по частоте (Hz)
S = sin(pi*a*f)./f/pi;
Ampl = abs(S); %вычисляем АЧХ
Re = real(S); %вычисляем действительную часть спектра
Im = imag(S); %вычисляем мнимую часть спектра
MaxSpectr = max(Ampl); %максимум для графика спектра
figure;
plot(f, Ampl);
axis([-fb fb -1.2*MaxSpectr 1.2*MaxSpectr]);
xlabel('f (Hz)');
title('Spectrum A(f)');
grid on;
figure;
plot(f, Re);
axis([-fb fb -1.2*MaxSpectr 1.2*MaxSpectr]);
xlabel('f (Hz)');
title('Spectrum Re(S(f))');
grid on;
figure;
plot(f, Im);
axis([-fb fb -1.2*MaxSpectr 1.2*MaxSpectr]);
xlabel('f (Hz)');
title('Spectrum Im(S(f))');
grid on;
--------------------------------------------------------------------------------------------------
%прямоугольный импульс - ДПФ
a = 2; %длительность импульса (с)
fb = 4; %интервал частот (Hz) на графике
T = 20; %интервал интегрирования в Фурье преобразовании (c)
dt = 0.1; %шаг дискретизации (с)
t = -T/2+dt:dt:T/2; %дискретные моменты времени (c)
N1 = length(t); %проверка, чтобы число членов ряда было четным
if mod(N1,2) == 1
N1 = N1 + 1;
T = dt*N1;
t = -T/2+dt:dt:T/2;
end
s = rectpuls(t/a); %отсчеты сигнала
figure;
plot(t, s);
axis([-T/2 T/2 0 1.5]);
xlabel('t (c)');
title('Signal s(t)');
grid on;
x=s; %сигнал заносим в последовательность для ДПФ
N = length(x); %число членов в преобразовании Фурье
X=fft(x); %прямое дискретное преобразование Фурье
k=1:N;
ex=exp(i*2*pi*(k-1)*(N/2-1)/N); %вычисление экспоненты
Sp = dt*ex.*X; %вычисление спектра не упорядоченного
S1=Sp(N/2+2:N);
S2=Sp(1:N/2+1);
S = [S1 S2]; %спектр упорядоченный
Ampl = abs(S); %вычисляем АЧХ
Re = real(S); %вычисляем действительную часть спектра
Im = imag(S); %вычисляем мнимую часть спектра
df=1/T; %интервал дискретизации частот
f=(-N/2+1:N/2)*df; %создаем дискретные частоты (для графика)
MaxSpectr = max(Ampl); %максимум для графика спектра
figure;
plot(f, Ampl);
axis([-fb fb -1.2*MaxSpectr 1.2*MaxSpectr]);
xlabel('f (Hz)');
title('Spectrum A(f)');
grid on;
figure;
plot(f, Re);
axis([-fb fb -1.2*MaxSpectr 1.2*MaxSpectr]);
xlabel('f (Hz)');
title('Spectrum Re(S(f))');
grid on;
figure;
plot(f, Im);
axis([-fb fb -1.2*MaxSpectr 1.2*MaxSpectr]);
xlabel('f (Hz)');
title('Spectrum Im(S(f))');
grid on;
----------------------------------------------------------------------------------------------
1.4.2 Нахождение базы финитного сигнала
Используя созданные программы для заданного сигнала определить его базу
.
Для сигналов с лепестковым характером спектра, в качестве эффективной ширины спектра взять ширину главного лепестка на графике АЧХ.
.
Рассматриваются только положительные частоты f. В точках графика f1, f2 АЧХ обращается в ноль, или же в точке f2 АЧХ обращается в ноль, а частота f1 = 0.
1.4.3 Анализ спектра сложного периодического сигнала
1. Посмотрите свой вариант задания. В каждом варианте заданы три частоты f1, f2, f3 и три амплитуды a1, a2, a3 для периодического сигнала
.
2. Используя созданную программу (ДПФ), написать новую программу для работы с периодическим сигналом. Для заданного периодического сигнала построить графики сигнала, действительно части спектра, мнимой части спектра, и АЧХ.
Замечание 1. В этой программе выбор параметров это не простое дело. Надо понимать, как работает ДПФ и какую роль играет частота Найквиста в теории периодических сигналов. Поэтому пока у студента не возникло понимание, как выбирать эти параметры, дадим следующие советы
Замечание 2. Так как график сигнала сильно зависит от параметров сигнала, то для получения красивой картинки можно использовать следующие рекомендации. Для выбора временного интервала вывода графика Tb можно использовать соотношение
.
Для нормировки графика сигнала по высоте предлагается следующий фрагмент кода
------------------------------------------------------------------------------------------------
MaxSignal = max(abs(s)); %максимум для графика спектра
plot(t, s);
axis([-Tb Tb -1.2*MaxSignal 1.2*MaxSignal]);
xlabel('t (c)');
title('Signal s(t)');
grid on;
----------------------------------------------------------------------------------------------
3. Запустите программу с параметрами данного варианта. Покажите результат преподавателю. В конспекте зарисовать графики. Объяснить характер поведения спектра. Обратите внимание на четность или нечетности функций составляющих сигнал. Объясните дельта - образный характер спектра и разную высоту линий спектра. Найдите частоту Найквиста для вашего варианта.
1.5 Зміст звіту:
В первой части.
1) Записать параметры задания для Вашего варианта – четность, f0 , a .
2) Зарисовать графики, полученные в результате работы первой и второй программ – s(t), Re(S(f)), Im(S(f)), АЧХ .
3) Записать параметры, выбранные для работы программ – T, dt, fb, df.
4) Записать выбранную частоту Найквиста – fNyquist .
Во второй части.
1) Записать ширину импульса, эффективную ширину спектра и найденную базу сигнала для Вашего варианта - t, f, B .
В третьей части.
1) Записать параметры задания для Вашего варианта – f1 , f2 , f3 , a1 , a2 , a3 .
2) Зарисовать графики, полученные в результате работы третьей программы – s(t), Re(S(f)), Im(S(f)), АЧХ .
3) Записать параметры, выбранные для работы программ – T, dt, fb, Tb.
4) Записать выбранную частоту Найквиста – fNyquist .
1.6 Контрольні запитання та завдання
1. Формулы преобразования Фурье.
2. Понятие АЧХ, ФЧХ.
3. Понятие базы сигнала.
4. Четность и нечетность спектра действительного сигнала.
5. Дельтаобразный характер спектра гармонических сигналов.
6. Формулы дискретного преобразования Фурье.
7. Смысл частоты Найквиста в ДПФ
8. Алгоритм вычисления спектра сигнала с помощью ДПФ
Варианты задания к лабораторной работе.