Методические указания по выполнению домашнего задания

При самостоятельном изучении курса следует руковод­ствоваться рабочей программой по дисциплине «Общая теория статистики» и пользоваться учебниками по «Общей теории статистики» следующих авторов: И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев (М.: Финансы и статистика, 2001), М.Р. Ефимова, В.М. Рябцев (М.: Финансы и статистика, 1991), Г.С. Кильдишев, В.Е. Овсиенко (М.: Статистика, 1980), Н.Н. Ряузов (М.: Финансы и статистика, 1984), Т. В. Рябушкин (М.: Статистика, 1981) и дру­гих авторов.

Типовые задачи и упражнения имеются в «Практикуме по общей теории статистики» под редакцией проф. Н. Н. Ряузова (М.: Финансы и статистика, 1981), в «Сборнике задач по общей теории статистики» под редакцией проф. В. Е. Овсиенко (М.: Финансы и статистика, 1986), в “Практикуме по теории статистики» под редакцией проф. Р.А. Шмойловой (М.: Финансы и статистика, 1999), в Практикуме «Общая теория статистики», автор Г.Л. Громыко (Москва, ИНФРА-М, 1999) и др.

Выполнение домашнего задания имеет важное значение в учебном процессе, так как студенты не только изучают важнейшие методологические вопросы курса, но и приобре­тают практические навыки при расчетах статистических по­казателей, построении таблиц и графиков.

Домашнее задание составлено из десяти вариантов.

Номер выполняемого варианта совпадает с последней цифрой номера зачетной книжки. Если последняя цифра – 0 выполняется десятый вариант, какая бы цифра перед ним не стояла. Например, студенты, имеющие номера зачетных книжек 97500, 97490, 97320 и т.д. выполняют десятый вариант.

Каждый вариант домашнего задания состоит из 13 задач по наиболее важным разделам курса. Задачи по вариантам и темам распределяются следующим образом: (см. на с.12). Каждая тема курса имеет свою нумерацию.

Тема

Вариант задания

I

II

III

IY

Y

YI

YII

YIII

IX

X

номера задач

Средние величины

№1, №6, №15

№2, №8, №16

№3, №11, №17

№7, №12, №18

№5,№6, №19

№4, №9, №20

№6, №13, №21

№5, №8, №22

№4, №10, №23

№3, №7, №24

Показатели вариации и выборочное наблюдение

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

№9

№10

Ряды динамики и прогнозиро- вание

№1, №7, №13, №19

№2, №8, №14, №20

№3, №9, №15, №21

№4, №18, №16, №22

№5, №11, №17, №23

№6, №12, №18, №24

№2, №9, №13, №20

№4, №11, №14, №23

№5, №12, №18, №21

№3, №7, №16, №19

Индексы

№1, №7, №13, №19

№2, №8, №14, №20

№3, №9, №15, №21

№4, №10, №16, №22

№5, №11, №17, №23

№6, №12, №18, №24

№5, №18, №12, №21

№6, №8, №15, №22

№2, №9, №13, №23

№4, №14, №13, №24

Корреляци- онный метод изучения связи

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

№8

№9

№10

Тема: «Средние величины»

В задачах 1-14 внимательно подойдите к выбору видов средней. Помните, что форма и вид средней должны отра­жать экономическое содержание определяемых показателей. Например, средняя себестоимость единицы изделия опреде­ляется отношением общих затрат на производство к количе­ству выпускаемых изделий. Если в условии задачи по цехам (бригадам и т. п.) имеются данные о себестоимости едини­цы изделия и количестве изделий, то исходя из экономиче­ского содержания показателя, для расчета средней себестои­мости применяется средняя арифметическая взвешенная:

,

где х – себестоимость единицы изделия,

f – количество изделий.

Если в условии даны показатели о себестоимости едини­цы изделия и издержки производства, то для расчета сред­него показателя применяется средняя гармоническая взве­шенная:

где х – себестоимость единицы изделия,

М – издержки производства.

Пример. Имеются следующие данные по предприятиям акционерного общества, выпускающих однородные изделия:

№ предприятия	I Квартал		II квартал
	Себестоимость ед. изделия, руб. х	Выпуск изделий, тыс. ед. f	Себестоимость ед. изделия, руб. x	Затраты на производство (издержки производства), тыс. руб. M
1	7,5	50,0	9,0	360,0
2	5,4	35,0	7,0	210,0

Требуется определить среднюю себестоимость одного изделия в целом по предприятиям за I и II кварталы.

Решение.

Экономическое содержание показателя:

Общие затраты на производство

Средняя (издержки производства)

с ебестоимость =

единицы изделия Количество выпущенных изделий

Для расчета общих затрат на производство изделий необходимо себестоимость ед. изделия (х) умножить на выпуск изделий (f) по предприятиям и просуммировать их.

Средняя себестоимость единицы изделия в I квартале равна:

,

(руб.)

Расчеты произведены по формуле средней арифметической взвешенной.

Во II квартале отсутствуют прямые данные о количестве выпущенных изделий, но их можно рассчитать косвенным путем, разделив затраты на производство (М) на себестоимость единицы изделия (x).

Средняя себестоимость единицы изделия во II квартале равна:

или

Расчеты произведены по формуле средней гармонической взвешенной.

Сравнивая среднюю себестоимость единицы изделия в I и II кварталах, можно отметить, что она возросла на 1,5 рубля (8,14-6,64).

Помимо степенных средних, в статистике применяют особые средние описательного характера – медиану и моду (задачи 15-24). Если все варианты признака расположены в определенном порядке, а именно, либо по их возрастанию, либо по их убыванию, то такой ряд называется ранжированным, то есть упорядоченным. Варианта, которая занимает в таком ряду срединное положение называется медианой.

Другими словами, медиана – это срединная величина ранжированного (упорядоченного) вариационного ряда. Если вариационный ряд имеет четное количество членов, то медиана равна полусумме двух срединных вариант.

В случае, если мы имеем интервальный вариационный ряд, то медиана рассчитывается по формуле:

где X_me – нижнее значение интервала, содержащего медиану;

i_me – величина медианного интервала;

– сумма частот ряда;

– номер медианы;

– сумма накопленных частот в интервале, предшествующем медианному.

– частота медианного интервала.

Пример. Имеются следующие данные о распределении ткачих по дневной выборке:

Номер группы ткачих	1	2	3	4	5	Итого
Дневная выработка, м	до 40	40-60	60-80	80-100	свыше 100
Число ткачих	25	30	40	35	20	150

Требуется рассчитать медиану по дневной выработке ткачих.

Решение.

Чтобы определить медиану, необходимо найти ее порядковый номер ( ), а затем по накопленным частотам или частостям определить тот интервал, в котором находится медиана.

В нашем примере порядковый номер медианы равен .

Далее следует по накопленным частотам определить интервал, в котором находится медиана. Произведем следующие расчеты:

Номер группы ткачих	Дневная выработка, м	Число ткачих	Накопленные частоты
1	до 40	25	25
2	40-60	30	55
3	60-80	40	95
4	80-100	35	130
5	свыше 100	20	150
--	--	150	--

Медианным интервалом является третий интервал: 60-80, так как номер 75 находится именно в этом интервале, судя по накопленным частотам.

Таким образом:

X_me = 60; i_me = 80 – 60 = 20; = 150;

= 55 = 40

Это означает, что первая половина ткачих (50%) имеют дневную выработку меньше 70 м, а вторая – больше.

Мода – вторая описательная характеристика вариационных рядов: это наиболее часто встречающаяся варианта, то есть варианта, которой соответствует наибольшая частота. Если мы имеем интервальный вариационный ряд, то мода определяется по следующей формуле:

где – начальное значение интервала, содержащего моду;

– величина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Пример. Контрольная проверка дневного удоя молока на молочно-товарной ферме 25 июля дала следующие результаты:

Номер группы коров	1	2	3	4	5	6	7	8
Дневной удой – кг	менее 3	3-5	5-7	7-9	9-11	11-13	13-15	более 15
Число коров в группе	8	25	50	80	40	22	13	10

Требуется рассчитать моду по дневному удою молока.

Решение.

Чтобы найти моду, необходимо вначале определить модальный интервал. Из примера видно, что наибольшая частота (80) соответствует интервалу 7-9. Это и есть модальный интервал. Мода по дневному удою молока, согласно выше приведенной формуле, рассчитывается следующим образом:

= 7; = 9 – 7 = 2; = 80; = 50; = 40.

По темам «Показатели вариации» и «Выборочное наблю­дение» составлены задачи 1-10. Вначале для решения задач необходимо вычислить среднюю арифметическую взвешен­ную по данным интервального ряда, затем показатели вари­ации: дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэф­фициент вариации. Показатель дисперсии (²) необходим для расчета ошибки выборки, а среднее квадратическое от­клонение ( ) – для расчета коэффициента вариа­ции.

Вторая часть задачи выполняется по теме «Выборочное наблюдение». Необходимо разобраться в понятии повторный и бесповторный отбор, вычислении предельной ошибки:

для среднего значения признака:

; (бесповторный отбор);

для доли признака:

; (бесповторный отбор).

Доверительный интервал для генеральной средней может быть рассчитан следующим образом:

.

Доверительный интервал для доли признака равен:

.

Пример. Для изучения уровня оплаты труда работников фирмы проведено 2%-ное выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора:

Месячная заработная плата, руб.	Число работников
До 600	15
600-700	24
700-800	30
800-900	21
Св. 900	10
Итого:	100

По данным выборочного обследования определить:

1) среднюю заработную одного работника фирмы, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

2) коэффициент вариации;

3) с вероятностью 0,997 возможные пределы, в которых находится средняя заработная плата всех работников фирмы;

4) с вероятностью 0,954 возможные границы, в которых находится удельный вес работников фирмы, получающих заработную плату свыше 900 рублей.

Решение.

Для определения средней заработной платы одного работника по выборочной совокупности ( ), дисперсии (σ²) и среднего квадратического отклонения (σ) произведем следующие расчеты:

Месячная заработная плата, руб.	Число работников f (n)	Середина интервала, x
До 600	15	550	-187	34969	524535
600-700	24	650	-87	7569	181656
700-800	30	750	+13	169	5070
800-900	21	850	+113	12769	268149
Св. 900	10	950	+213	45369	453690
Итого:	100	-	-	-	1433100

1.

2. Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

.

3. Возможные пределы, в которых находится средняя зарплата всех работников фирмы рассчитывается следующим образом:

, где

В выборочном наблюдении фактическая ошибка репрезентативности ( ) может быть больше или меньше средней ошибки (μ). Вопрос о пределах возможной ошибки собственно-случайной выборки решается на основе теорем Чебышева и Ляпунова, которые определяют вероятность того, что ошибка репрезентативности (∆) не превзойдет t-кратную среднюю ошибку (μ),т.е. t-раз взятую среднюю ошибку репрезентативности.

На основании теоремы Чебышева в формулировке Ляпунова устанавливается, что для t=1 соответствует вероятность р=0,683.

для t=2 соответствует вероятность р=0,954.

для t=3 соответствует вероятность р=0,997.

для t=4 соответствует вероятность р=0,999937 и т.д.

Средняя ошибка выборки (μ) рассчитывается по формуле:

, где

² – средний квадрат отклонения (дисперсия) в выборке;

n – численность выборки;

N – численность генеральной совокупности.

В нашем примере при условии, что проведено 2%-ное обследование, N=5000.

Размер возможной (допустимой) или предельной ошибки выборки рассчитывается по формуле: ,

где t=3 при p=0,997.

Следовательно: =311,85=35,33 (рубля).

Итак, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средняя заработная плата всех работников фирмы будет находиться в пределах:

4. Возможные пределы (границы), в которых находится удельный вес работников фирмы, получающих заработную плату свыше 900 рублей, можно рассчитать таким образом:

,

где ; ; .

Условные обозначения:

W – доля данного признака в выборке;

(1-W) – доля противоположного признака в выборке;

m – количество единиц данного признака в выборке.

Итак, или 10%

или 2,97%.

Предельная ошибка выборки для доли рассчитывается по формуле:

,

где t=2 при р=0,954.

Следовательно: с вероятностью 0,954 можно утверждать, что удельный вес всех работников фирмы, получающих заработную плату свыше 900 рублей находится в пределах:

или .

Тема «Ряды динамики и прогнозирование» представлена задачами 1-24.

В задачах 1- 6 требуется определить аналитические по­казатели ряда динамики. Особое внимание следует уделить расчету средних показателей ряда динамики.

Средний уровень ряда в задачах 1-6 вычисляется по формуле:

.

Средний абсолютный прирост исчисляется двумя спосо­бами:

а) как средняя арифметическая простая цепных приростов

,

б) делением базисного прироста на число периодов:

В рядах динамики приняты следующие обозначения:

У₀ – начальный уровень ряда;

У_i – каждый последующий уровень, начиная со второго;

У_n – конечный уровень ряда.

Темпы динамики (роста или снижения) вычисляются по формулам:

Среднегодовой темп динамики (роста или снижения) ис­числяется по формуле средней геометрической двумя спосо­бами:

где Т₁; Т₂...Тn – цепные темпы роста или снижения;

n – число темпов;

П – знак произведения;

ПТ – произведение цепных темпов роста или снижения.

где У₀ – начальный уровень;

У_n – конечный уровень;

n – число уровней ряда динамики в изучаемом периоде.

Абсолютное содержание одного процента прироста (1%) исчисляется только в натуральном или денежном выражениях, то есть в абсолютных величинах. Этот показатель может быть исчислен двумя способами:

где Уi-1 – предшествующий уровень ряда;

– абсолютный прирост;

Т_пр – темп прироста.

Для характеристики изменения величины во времени может быть использован абсолютный прирост. Абсолютный прирост ( ) показывает, на сколько изменился (возрос или уменьшился) последующий уровень ряда по сравнению с предшествующим или начальным.

.

Задачи 7-12 составлены на расчет среднего уровня моментного ряда динамики.

Средний уровень моментного ряда динамики с равными интервалами определяется по формуле средней хронологиче­ской:

,

где n — число уровней ряда.

Пример.

На фирме имеются следующие остатки сырья: на 1 января – 242 тыс. руб.; на 1 февраля – 251 тыс. руб.; на 1 марта – 213 тыс. руб.; на 1 апреля – 186 тыс. руб. Определить средний месячный остаток сырья в течение первого квартала.

Решение.

В условии данные представлены в виде моментного ряда с равностоящими датами, средний уровень ряда определяется по формуле:

Для решения задач 13-24 необходимо изучить наиболее эффективный способ выявления основной тенденции разви­тия явления аналитическое выравнивание с выходом на про­гнозирование.

Пример. Имеются данные об объеме реализации продукции фирмой Ростовской области за 1989-1997 гг. (в сопоставимых ценах; тыс. руб.).

1989 – 221 1992 – 285 1995 – 360 1990 – 235 1993 – 304 1996 – 371

1991 – 272 1994 – 320 1997 – 295

Для изучения общей тенденции объема реализации продукции произведите аналитическое выравнивание ряда по прямой и, экстраполируя тенденцию, определите показатель в 2003 году.

Решение.

Для выравнивания ряда динамики по прямой используют уравнение:

.

Показателям времени t придают условное значение таким образом, чтобы их сумма была равна нулю, т.е.:

В данном примере число исходных уровней ряда – нечетное (n=9), условный отсчет (t) в решении производим следующим образом:

Годы	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997
t	-4	-3	-2	-1	0	+1	+2	+3	+4

Далее, произведем расчет необходимых значений.

Годы	Эмпирические уровни ряда (yi)	Условное обозначение времени (t)	t2	yit
1989	221	-4	16	-884	219,32
1990	235	-3	9	-705	241,24
1991	272	-2	4	-544	263,16
1992	285	-1	1	-285	285,08
1993	304	0	0	0	307,0
1994	320	+1	1	320	328,92
1995	360	+2	4	720	350.84
1996	371	+3	9	1113	372,76
1997	295	+4	16	1580	394,68
Итого:	2763	0	60	1315	2763

Определим параметры:

;

Уравнение общей тенденции ряда динамики: .

Подставляя в уравнение принятые обозначения t, вычисляем выравненные уровни ряда динамики :

1989 г. -

1990 г. - и т.д.

Правильность расчета уровней выравниваемого ряда динамики может быть проверена следующим образом: сумма значений эмпирического ряда должна быть близкой или совпадать с суммой вычисленных уровней выравниваемого ряда, т.е.: .

Продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, носит название экстраполяции. Экстраполируя при t=5, находим уровень 1998 г., равный:

тыс. руб.

Уровень 1999 г. при t=6 равен:

тыс. руб. и т.д.

Примечание. При четном числе уровней ряда динамики для того, чтобы , отсчет условного времени производится следующим образом:

Годы	1988	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995
t	-7	-5	-3	-1	+1	+3	+5	+7

и т.д.

По теме «Индексы» составлены задачи 1–24. Задачи 1–6 решаются по агрегатной форме индекса. В задачах 7-9, 14, 17, 18 применяется средний арифметический индекс, который оп­ределяется для количественных показателей. Примером может служить индекс физического объема товарооборота:

.

Этот индекс тождествен (равен) агрегатному индексу, кото­рый вычисляется по формуле:

.

Рассмотрим метод определения среднего арифметического индекса физического объема продукции по следующим данным:

Наименование товарных групп	Выручка от реализации в базисном периоде, тыс. руб.	Индивидуальный индекс физического объема товарооборота
	P0q0	iq
I	20,0	1,47
II	30,0	1,55
III	25,0	1,71
IV	15,0	2,10
Итого	90,0	-

Рассчитаем средний арифметический индекс физического объема товарооборота по четырем товарным группам:

или 166,7%.

Физический объем продажи по четырем товарным группам увеличился на 66,7% (166,7% - 100%).

Задачи 10-13, 15, 16 составлены на использование среднего гар­монического индекса, который определяется для качествен­ных показателей (цен, себестоимости, заработной платы, трудоемкости и т. п.). Примером может служить индекс цен:

.

Этот индекс тождествен агрегатному индексу:

Покажем расчет среднего гармонического индекса цен и других индексов, используя следующие данные:

	Объем товарооборота, тыс. руб.
Изделия	I квартала P0q0	II квартала P1q1	Индивидуальный индекс цен, ip
I	750	780	1,05
II	530	520	1,03
III	315	340	1,11
Итого	1595	1640

Исчислим средний гармонический индекс цен:

или 105,53%.

Цены в среднем возросли на 5,53% (105,53%-100%).

Общий индекс товарооборота:

или 102,9%.

Общий индекс физического объема товарооборота определим по формуле взаимосвязи индексов:

или 97,5%.

Общий товарооборот увеличился на 2,9%, а физический объем продажи снизился на 2,5%.

В задачах 5, 14, 15 необходимо использовать различные формы индексов общих затрат рабочего времени, трудоемкости и производительности труда, которые приведены ниже.

Общий индекс затрат рабочего времени (затрат труда) вычисляется по формуле:

где – общие затраты рабочего времени в отчетном периоде;

– общие затраты рабочего времени в базисном периоде.

Общий индекс трудоемкости единицы продукции исчисляется по формуле:

где: – условные общие затраты рабочего времени в отчетном периоде.

Индекс трудоемкости можно также рассчитать следующим образом, используя формулу среднегармонического индекса:

Общий индекс производительности труда по затратам рабочего времени вычисляется по формуле:

Этот индекс является обратной величиной по отношению к индексу трудоемкости:

.

Для расчета индекса производительности труда можно воспользоваться среднеарифметической формой индекса:

В задачах 19-25 необходимо определить индексы пере­менного и постоянного составов, а также индекс структур­ных сдвигов.

Индекс постоянного состава вычисляется по формуле:

.

Данный индекс изменяется под влиянием только индек­сируемой величины.

Индекс переменного состава вычисляется как отношение двух средневзвешенных величин с переменными весами. Его можно представить в следующем виде:

где х₁ и х₀ — уровни показателя соответственно в отчетном и базисном периодах;

f₁ и f₀ — веса в отчетном и базисном периодах.

Индекс переменного состава изменяется под влиянием двух факторов: изменения индексируемой величины и струк­туры. Индекс структурных сдвигов вычисляется по формуле:

Рассмотрим расчет показателей на следующем примере:

Динамика таможенного тарифа на экспортируемую продукцию фирмой «Конус».

Вид продукции	I квартал		II квартал
	Тарифная ставка, % х0	Сумма экспорта, долл. f0	Тарифная ставка, % х1	Сумма экспорта, долл. f1
А	0,9	8240,0	0,96	8927,0
Б	0,07	11,2	0,10	14,3
В	22,0	51296,1	24,5	7456,3

Определить:

1) индекс таможенного тарифа постоянного состава;

2) Индекс таможенного тарифа переменного состава;

3) Индекс структурных сдвигов.

Вычислим индекс постоянного состава по формуле:

Увеличение в среднем таможенного тарифа на 11,2% (111,2% - 100%) зависит от изменения тарифной ставки во II квартале по сравнению с I кварталом.

Определим изменения среднего таможенного тарифа за I и II кварталы:

Вычислим индекс таможенного тарифа переменного состава по формуле: или 61,2%.

Следовательно, за счет влияния тарифной ставки и сдвигов в структуре экспорта средний таможенный тариф снизился на 38,8% (100%-61,2%).

Индекс структурных сдвигов составил:

J_{стр. сдвг.} =J_{перем. сост.} / J_{пост. сост.} =0,612÷1,112=0,551 или 55,1%.

Изменение структуры экспорта во II квартале повлекло снижение таможенного тарифа дополнительно на 44,9% (100%-55,1%).

Тема «Корреляционный метод изучения связи» представ­лена задачами 1-10, в которых требуется вычислить линей­ное уравнение связи и коэффициенты тесноты связи между заданными признаками. Для их решения необходимо внима­тельно изучить соответствующий материал по учебникам.

Уравнение связи в общем виде:

Параметры уравнения связи а₀ и а₁ могут быть опреде­лены различными способами. Линейный коэффициент корре­ляции (коэффициент тесноты связи) также имеет несколько способов расчета. Студент может выбрать любой из них:

или ,

а также

Ниже приведен расчет коэффициента корреляции по данным оборачиваемости оборотных средств и уровням рентабельности:

Количество оборотов x	Уровень рентабельности, %, y	xy	x2	y2
1	17,0	17,0	1	289,0
2	20,0	40,0	4	400,0
3	25,0	75,0	9	625,0
4	28,0	112,0	16	784,0
5	34,0	170	25	1156,0
Итого: 15	124,0	414,0	55	3254,0

Отсюда

.

Для характеристики тесноты связи между признаками можно воспользоваться таблицей, предложенной американским ученым Чэддоком:

Величина показателя тесноты связи	Сила связи
0,1 - 0,3	слабая
0,3 - 0,5	умеренная
0,5 - 0,7	заметная
0,7 - 0,9	высокая
0,9 - 0,99	очень высокая

1. Согласно таблице связь между количеством оборотов (х) оборотных средств и уровнем рентабельности (у) прямая и очень высокая (r_ху = 0,99).

2. Коэффициент регрессии (а₁ при х) показывает, что с увеличением оборотов (х) на единицу, уровень рентабельности (у) возрастает на 4,2%.

Однако, сама величина коэффициента корреляции еще не доказывает достоверность связи между исследуемыми факторами, поэтому его требуется проверить на значимость. Существует множество способов оценки существенности линейного коэффициента корреляции.

Значимость коэффициента корреляции можно проверить при помощи статистики t, которая имеет следующую формулу:

раз, где

r_xy – проверяемый линейный парный коэффициент корреляции,

– стандартная ошибка коэффициента корреляции.

Применительно к нашему примеру:

Следовательно, можно сделать вывод о значимости коэффициента корреляции, связь между факторами не случайна.

Параметры уравнения прямой можно определить по следующим формулам:

;

.

Для нашего примера: