8 Класс

1. Упростите выражение:

2. Зная, что , найдите значения выражения: .

3. Пассажир едет в поезде, который идет со скоростью 60 км/ч, и видит, что мимо окна проходит встречный поезд в течение 4с. Какова скорость встречного поезда, если его длина равна 120 м?

4. Постройте график функции: .

5. Восстановите математическую запись примера:

Здесь разные буквы обозначают разные цифры, а одинаковые буквы - одинаковые цифры.

6. Докажите, что биссектрисы внешних углов прямоугольника, пересекаясь, образуют квадрат.

Ответы:

8 Класс

1. .

2. 1.

3. 48 км/ч

4. График функции изображен на рис. 49.

5.

6. Рассмотрим (см. рис. 50). Так как CK и DK – биссектрисы внешних углов прямоугольника ABCD, то , a - равнобедренный и прямоугольный. Примем длины сторон CK и DK за с.

Аналогично являются равнобедренными и прямоугольными, причем Обозначив длину NC за d, получим, что все стороны прямоугольника MNKP имеют длину c + d, поэтому MNKP является квадратом.

9 Класс

1. Запишите число 10 с помощью семи «4», знаков арифметических действий и запятой.

2. Как с помощью циркуля и линейки разделить угол величиной в на 19 равных частей?

3. Расстояние между пунктами A и B – 60 км. Из A в B выходит автомобиль, а из B в том же направлении одновременно с первым автомобилем выходит второй. Если скорость первого автомобиля увеличить на 10 км/ч, а второго – на 8 км/ч, то первый автомобиль догонит второй в том же месте, но на час раньше. Какова скорость каждого автомобиля?

4. 1997_*** делится на 1996. Сколько способов существует заменить _*** цифрами?

5. Докажите, что среди любых шести человек найдутся трое знакомых или трое незнакомых между собой людей.

Ответы:

9 Класс

1. 44,4 : 4 – 4,4 : 4 = 10.

2. С помощью прямоугольного треугольника, в котором один катет в 2 раза больше другого, строим угол в 30 так, чтобы он содержал внутри себя данный угол в 19 (см. рис. 58). Таким образом, получаем угол в 11 . Теперь откладываем этот угол внутри данного угла и получаем угол в 8 . Деля полученный угол пополам (3 раза), получим угол в 1 , который и составляет одну девятнадцатую часть исходного угла.

Рис. 58

3. Скорости автомобилей равны 50 км/ч и 40 км/ч.

4. Способов существует всего один и число 1997996 является искомым. Если бы существовали другие способы, то числа отличались бы от этого числа, по крайней мере, на 1996, то есть первые четыре цифры не совпадали бы с 1997.

5. Пусть эти шестеро: A, B, C, D, E, M, A находятся в одном из двух отношений: «знаком» или «не знаком» хотя бы с тремя из них. Пусть это будут B, C, D. Если какие-то 2 из них находятся в том же отношении друг с другом, то они вместе с A образуют искомую тройку. В противном случае искомая тройка B, C, D.

10 Класс

1. Решите уравнение: .

2. Двое рабочих могут выполнить некоторую работу за 7 дней при условии, что второй приступит к ней на 2 дня позже первого. Если бы ту же работу каждый выполнял в одиночку, то первому потребовалось бы на 4 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый рабочий мог бы выполнить эту работу?

3. Постройте график функции: .

4. При каком минимальном натуральном k > 2002 число

будет рациональным?

5. Решите в целых числах уравнение: . (8 б.)

Ответы: