5.6.1. Консервативность силы тяжести

На приведенном выше рисунке дан вид сбоку. Точка m движется под действием силы тяжести из 1 в 2. Сила тяжести всегда направлена вниз! вектор перемещения,

.

При любой траектории ответ будет таким же, значит, сила тяжести консервативна.

5.6.2. Неконсервативность силы трения

На рисунке изображен вид сверху на материальную точку m, движущуюся при наличии силы трения из положения 1 в положение 2. Сила трения всегда направлена против скорости cosα = -1.

.

Ответ зависит от выбора траектории, значит, сила трения неконсервативна.

5.7. Потенциальная энергия может быть введена только для поля консервативных сил

Так как их работа не зависит от траектории, а только от начального и конечного положений материальной точки, то эту работу можно записать в виде разности двух чисел: одно - W_n1 - будет зависеть от начального положения тела, второе - W_n2 - от конечного положения тела.

.

W_n1 - потенциальная энергия тела в положении 1; W_n2 - в положении 2.

5.7.1. Некоторые конкретные выражения для потенциальной энергии W_n(r) Для нахождения конкретного вида зависимости W_n(r) необходимо вычислить работу

.

В частности, для однородного поля тяжести, где , используя (5.6.1), получим: W_n = mgh. Если - гравитационная сила, то Если - кулоновская сила, то . Если - сила упругости, то .

5.8.Закон сохранения механической энергии

5.8.1.Для одной материальной точки, движущейся в поле консервативных сил, из (5.5)

A₁₂ = W_k2 - W_k1,

из (5.7)

A₁₂ = W_n1 - W_n2.

Откуда

W_n1 - W_n2 = W_k2 - W_k1

или

W_k1 + Wn1 = W_k2 + W_n2.

В поле консервативных сил сумма кинетической и потенциальной энергии материальной точки остается постоянной, т.е. сохраняется.

- полная энергия материальной точки.

Полная энергия материальной точки в поле консервативных сил сохраняется.

5.8.2. Полная энергия системы материальных точек Для системы, состоящей из N взаимодействующих между собой материальных точек, полная энергия

,

где W_{п i, k} - потенциальная энергия взаимодействия i -й материальной точки с k-й материальной точкой. W_п - потенциальная энергия взаимодействия всех частиц системы между собой.

5.8.2.1. Закон сохранения энергии для системы материальных точек Если система материальных точек находится во внешнем поле консервативных сил, то её полная механическая энергия

,

где W'_п - потенциальная энергия системы во внешнем поле. Полная механическая энергия системы материальных точек, находящейся только под действием консервативных сил, остается постоянной. При наличии неконсервативных сил полная механическая энергия системы не сохраняется, ее убыль равна работе неконсервативных сил.

7. Динамика вращательного движения

7.1. Работа при вращательном движении. Момент силы

Из (5.3.2):

,

.

M_z - момент силы F_t относительно оси вращения z. В векторном виде:

- векторное произведение.

7.2. Кинетическая энергия при вращательном движении. Момент инерции

.

.

I_z - момент инерции твердого тела, относительно оси z.

Моментом инерции материальной точки I_i называется величина:

.

Следовательно,

.

Величина I зависит от положения оси вращения и от распределения масс в теле.

7.2.1. Теорема Штейнера

,

где I₀ - момент инерции относительно оси OО, I - момент инерции относительно оси O'О'.

7.2.2. Моменты инерции I₀ для некоторых тел

Обруч:	,	где R - радиус обруча.
Диск:	,	где R - радиус диска.
Шар:	,	где R - радиус шара.
Стержень:	,	где l - длина стержня.
		m - масса тела.

7.3. Уравнение динамики вращательного движения Из (5.5):

.

Используем (7.1) и (7.2):

.

Используем (6.3):

,

Откуда

.

Получим основное уравнение динамики вращательного движения, сравнить с (4.6):

.

7.4. Момент импульса абсолютно твердого тела Из (7.3):

,      или       .

Введем момент импульса абсолютно твердого тела:

.

В векторном виде для однородного симметричного тела:

.

Закон изменения момента импульса со временем:

                        , сравнить с (4.6)

7.5. Закон сохранения момента импульса Из (7.4):

,

если момент силы = 0, то:

.

Т.к. , то величина будет иметь одинаковые значения для любых интересующих нас моментов времени, т. е.:

;

или

.

Вращающееся тело может изменить свой момент инерции, изменится и его угловая скорость, но при равенстве нулю суммарного момента внешних сил величина I_zω останется постоянной. Пример - фигурист в "волчке".