16. Электромагнитные волны

Выпишем здесь еще раз систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме вместе с материальными уравнениями (15.3):

Применим систему уравнений Максвелла (13.4) к однородной ( ε = const, μ = const), нейтральной ( ρ = 0), непроводящей ( σ = 0) среде. Уравнения Максвелла примут следующий вид.

Первая пара:

Вторая пара:

Наша задача - получить волновые уравнения для векторов и , решениями которых будут уравнения электромагнитной волны (сравните с 15.3).

16.1. Система уравнений Максвелла для плоской электромагнитной волны

Зададим направление оси x перпендикулярно волновым поверхностям. Тогда:

От координат x и z в плоской волне и не зависят. Как известно из математики:

Учитывая, что не зависит от y и z из первого уравнения первой пары:

,

получим три скалярных уравнения:

Второе уравнение первой пары дает:

Аналогично, из второй пары уравнений Максвелла получим:

16.1.1. Поперечность электромагнитных волн

Уравнения (1) и (4), (5) и (8) утверждают, что H_x и E_x не зависят от времени и координаты x, т.е. являются однородными постоянными полями. Таким образом, переменное поле электромагнитной волны не имеет составляющей вдоль оси x, в направлении которой распространяется волна. Это значит, что электромагнитная волна поперечна, т.е. векторы и перпендикулярны направлению ее распространения.

16.1.2. Волновое уравнение

В уравнения (2) и (7) входят E_z и H_y, в уравнения (3) и (6) входят E_y и H_z. Таким образом, если первоначально было создано поле E_y, то оно породит H_z (3), которое создает E_y (6). Аналогично с E_z и H_y.

Для описания электромагнитной волны можно выбрать уравнения (2) и (7), либо уравнения (3) и (6), либо те и другие.

Получим волновое уравнение для уравнений (3) и (6):

После указанных стрелками замен имеем два волновых уравнения:

16.1.2.1. Фазовая скорость электромагнитной волны

Коэффициент при второй производной по времени, есть величина, обратная квадрату фазовой скорости волны (см. 15.3.2). Для электромагнитной волны фазовая скорость из волновых уравнений 16.1.2:

В вакууме ε = &mu = 1 и

.

Тогда:

Полученное значение фазовой скорости электромагнитной волны в вакууме равно скорости света в вакууме - с. С учетом этого:

16.1.2.2. Гармонические волны - простейшие решения волновых уравнений

Легко проверить, что

являются решениями волновых уравнений (16.1.2). Эти решения описывают электромагнитную волну, у которой вектор направлен вдоль оси y, вектор - вдоль оси z, волна распространяется вдоль оси x, таким образом, векторы , , образуют правую тройку.

16.1.2.3. Связь между модулями векторов и электромагнитной волны и их фазами

Подставив решения (16.1.2.2.) в уравнения (3) и (6), получим из (3):

Из этих равенств следует:

1) Векторы и колеблются в одинаковой фазе.

;

2)

16.2. Пространственная структура электромагнитной волны

Для фиксированного момента времени t₁ векторы и плоской гармонической электромагнитной волны могут быть изображены следующей диаграммой:

16.3. Плотность энергии электромагнитной волны

16.3.1. Вектор Пойнтинга - вектор плотности потока энергии электромагнитной волны

Из (15.4.4):

.

Для электромагнитной волны вектор плотности потока энергии обозначают буквой   .

Из (16.3):

.

Используя диаграмму (16.2) величине S можно придать векторный характер:

16.3.2. Интенсивность электромагнитной волны - это среднее по времени от модуля вектора Пойнтинга

сравните с (15.4.5).

16.4. Изучение диполя

16.4.1. Диполь

- это два разноименных точечных заряда, находящихся на некотором расстоянии друг от друга (см. 9.13.1.1).

16.4.2. Электрическое и магнитное поле колеблющегося диполя

Пусть расстояние между зарядами диполя периодически изменяется с течением времени, т.е. , диполь колеблется. Тогда   .

Электрическое и магнитное поле диполя будет переменным, диполь будет излучать электромагнитные волны.

Точный расчет на основе уравнений Максвелла показывает, что электрическое поле в этой волне, распространяющейся в вакууме: Направление векторов и изображено на рисунке. Угол θ - это угол между направлением дипольного момента и направлением излучения.

16.4.2.1. Электрическое поле диполя, колеблющегося по гармоническому закону

Пусть , тогда:

Для E из (16.4.2) имеем:

16.4.2.2. Интенсивность дипольного гармонического излучения

Из (16.3.2):

16.4.2.3. Диаграмма направленности излучения диполя

- это графическое изображение в полярной системе координат зависимости интенсивности излучения I, (16.4.2.2), от угла θ.

На рисунке дана половина пространственного изображения диаграммы направленности. Полная диаграмма похожа на бублик без дырки.

16.5. Световые волны

Световая волна - это электромагнитная волна с длиной волны в вакууме:

Волны такого диапазона воспринимаются человеческим глазом. Частота световой волны (15.1.8.), (16.1.2.1.):

16.5.1. Современная точка зрения на природу света

По современным представлениям свет - это поток фотонов, т.е. элементарных частиц, имеющих нулевую массу, двигающихся со скоростью м/с. Каждый фотон (квант света) обладает энергией:

,

где v - частота электромагнитной волны,    - постоянная Планка. (М. Planck - немецкий физик, получивший в 1900 году на основе выдвинутой им гипотезы квантов, закон распределения в спектре излучения абсолютно черного тела).

Импульс каждого фотона:

,

где   - волновой вектор (15.2.4), модуль волнового вектора (см. 15.2.4.1).

.