Б) средняя квадратическая взвешенная:

4. Средняя хронологическая используется для вычисления среднего уровня в моментных рядах динамики с равными отрезками времени между датами:

5. Структурные средние используются в качестве вспомогательных обобщающих характеристик при изучении структуры совокупности, к ним относятся:

• мода – величина признака, чаще всего встречающаяся в совокупности, в дискретном вариационном ряду для её определения не требуется вычислений – модой будет наиболее часто встречающаяся варианта, имеющая наибольший вес, а для интервального вариационного ряда она определяется по формуле:

где – начало (нижняя граница) модального интервала (с наибольшей частотой);

– величина интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота модального интервала;

– частота интервала, следующего за модальным.

• медиана – величина, которая делит численность вариационного ряда на 2 равные части, одна часть имеет значения варьирующего признака меньше, чем средний вариант, а другая – больше:

где – начало (нижняя граница) медианного интервала;

– величина интервала;

– сумма частот всей совокупности;

– сумма накопленных частот интервалов, предшествующих медианному;

– частота медианного интервала.

2. Свойства средней арифметической величины.

Использование свойств средней арифметической величины упрощает её расчёты, особенно для дискретных вариационных рядов, составляющих арифметическую прогрессию или для интервальных рядов с равными интервалами. Рассмотрим основные свойства средней арифметической:

1. Если все варианты уменьшить или увеличить на одно и тоже число, то средняя арифметическая из этих вариант тоже уменьшится или увеличится на это же число:

2. Если все варианты увеличить или уменьшить в одно и тоже число раз, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится в то же число раз:

3. Сумма положительных и отрицательных отклонений индивидуальных значений признака от средней величины равно нулю:

4. Если веса средней величины увеличить или уменьшить в несколько раз, то средняя арифметическая не изменится:

5. При вычислении средней арифметической взвешенной весами могут служить не только абсолютные показатели, но и удельные веса этих показателей.

3. Абсолютные и относительные показатели вариации.

Средняя величина даёт обобщающую характеристику совокупности как едино целого, однако она не раскрывает её структуры, т.е. не показывает характера распределения (однородности) единиц совокупности. Для углубленного анализа той или иной совокупности средняя должна дополняться показателями вариации.

Вариация (латинское слово) – изменение, колеблиемость, различие. Вариация это различия в значениях того или иного признака у отдельных единиц, входящих в данную совокупность. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Например, успеваемость отдельного студента определяется затратами времени на подготовку к занятиям, способностью к обучению и т.п.

В статистике вариацией значений какого-либо признака в совокупности называют различие его значений у разных единиц совокупности в один и тот же период (момент) времени. Чем меньше вариация единиц совокупности, тем средняя более показательна, по мере увеличения вариации средняя становится менее надёжной. Различают следующие основные показатели вариации:

1. Размах вариации – это разность между наибольшим и наименьшим значениями признака в совокупности:

2. Среднее линейное отклонение служит для характеристики средней величины всех отклонений от средней и вычисляется делением суммы абсолютных значений отклонений индивидуальных величин от средней на их число:

• не взвешенное:

• взвешенное:

3. Дисперсия – это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической:

• не взвешенная:

• взвешенная:

4. Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

• не взвешенное:

• взвешенное:

5. Коэффициент вариации применяется при сопоставлении колеблиемости различных по своему характеру и размеру признаков, он используется для оценки типичности средних величин и вычисляется делением среднего квадратического отклонения на среднюю арифметическую величину:

Если коэффициент вариации меньше 10%, то колеблиемость признака слабая, если он больше 10%, но меньше 30%, то колеблиемость признака средняя и если коэффициент вариации больше 30%, то колеблиемость признака большая.