Правила (законы) Кирхгофа
В основе методов анализа электрических цепей лежат законы Кирхгофа.
Первый закон — закон токов Кирхгофа (ЗТК) формулируется по отношению к узлам электрической цепи и гласит: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю. В узлах не могут накапливаться заряды. записывается так:
, (1.8)
где m — число ветвей, сходящихся в узле.
В уравнении (1.8) токи, одинаково ориентированные относительно узла, имеют одинаковые знаки, т. е. токи, направленные к узлу, берутся с одним знаком (например, «+»), а токи, направленные от узла, берутся с противоположным знаком (для нашего примера – «-»). Можно наоборот, знаки выходящих из узла токов считать положительными, а входящих в узел — отрицательными. Число независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, будет на единицу меньше числа узлов электрической цепи. При этом под узлом подразумевается место (точка) соединения трех и более элементов цепи.
Второй закон — закон напряжений Кирхгофа (ЗНК) формулируется по отношению к контурам. Контуром называется любой замкнутый путь в цепи.
Второй закон Кирхгофа :алгебраическая сумма падений напряжений в любом контуре цепи равна алгебраической сумме ЭДС в данном контуре:
=
(1.9)
где n — число ветвей, входящих в контур. Ветвью называется часть цепи, включенная между двумя узлами.
Направление обхода контура выбирается произвольно. При записи левой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжения в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода (независимо от направления ЭДС в этих ветвях), а со знаком минус — падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода. При записи правой части равенства ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода (независимо от направления тока, протекающего через них), берутся со знаком плюс, а ЭДС, направленные против выбранного направления обхода, — со знаком минус. Число независимых уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа,
,
(1.10)
где NВ – число ветвей цепи, Nу - число узлов цепи NТ – число ветвей цепи, содержащих источники тока.
При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, не содержащие источников тока. Независимым называется контур, который содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры цепи.
Общее число уравнений, составляемых по
первому и второму законам Кирхгофа,
равно числу (
—
)
неизвестных токов.
1.5. Методы эквивалентных преобразований электрических цепей
Для упрощения расчетов цепи целесообразно использовать преобразования электрических схем. В основе различных методов преобразования электрических схем лежит принцип эквивалентности, согласно которому напряжения и токи в ветвях схемы, не затронутых преобразованием, остаются неизменными.
Рассмотрим наиболее часто используемые преобразования, основанные на принципе эквивалентности. Последовательное соединение сопротивлений.
Рис. 3.1
Согласно первому закону
Кирхгофа при последовательном соединении
элементов через них протекает один и
тот же ток (рис. 3.1). При этом по второму
закону Кирхгофа напряжение, приложенное
ко всей цепи, равно сумме напряжений на
каждом из элементов:
.
Тогда для последовательного соединения
резистивных сопротивлений
с учетом
находим
где
(1.11)
Таким образом, цепь из n последовательно соединенных резистивных элементов может быть заменена одним эквивалентным резистивным элементом, эквивалентное сопротивление которого равно сумме сопротивлений отдельных резистивных элементов.
При последовательном соединении n сопротивлений напряжения на них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям:
Параллельное соединение сопротивлений рис. 3.2..
Рис.
3.2
При
параллельном соединении элементов
согласно второму закону Кирхгофа к ним
будет приложено одно и то же напряжение
(рис. 3.2). При этом по первому закону
Кирхгофа, ток на входе всей цепи равен
сумме токов в каждом из элементов:
На основании этого уравнения с учетом
формулы
получаем для параллельного соединения
резистивных элементов
,
где
(1.12)
Следовательно, цепь из n параллельно соединенных резистивных элементов можно заменить одним эквивалентным резистивным элементом, эквивалентная проводимость которого равно сумме проводимостей отдельных резистивных элементов.
Или можно записать:
в частности, при n = 2,
(1.13)
При параллельном соединении сопротивлений токи в них распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям (или прямо пропорционально своим проводимостям).
При последовательном соединении независимых источников напряжения они заменяются одним эквивалентным источником напряжения с ЭДС e (рис.3.6). Причем со знаком «+» берутся ЭДС или задающие напряжения, совпадающие с ЭДС или задающим напряжением эквивалентного источника, а со знаком «-» — несовпадающие
Рис. 3.6
Параллельно соединенные независимые источники тока можно заменить одним эквивалентным источником тока с задающим током, равным алгебраической сумме задающих токов отдельных источников. При этом со знаком «+» берутся задающие токи, совпадающие по направлению с задающим током эквивалентного источника, а со знаком «-» — не совпадающие (рис. 3.6).