Когерентное и некогерентное рассеяние

Когерентное рассеяние определяется как случай, когда рассеянные волны интерферируют, и в результате получается одна результирующая волна в заданном направлении, как на рис. Е1.3. Амплитуды волн, a_j, от каждого атома j суммируются, принимая во внимание их фазовые соотношения. Интенсивность, когда волны совпадают по фазе, составляет (∑a_j)^2. Если рассеяние некогерентное, результирующая интенсивность составляет (∑a²_j), сумма интенсивностей рассеянных индивидуально каждым из атомов (как если бы других атомов не было!). Однако, наиболее часто наблюдается промежуточный случай, при котором рассеянные волны содержат когерентную и некогерентную составляющую.

Необходимо очень большое число атомов в образце, так как рассеяние одним атомом слишком слабое, чтобы его наблюдать. То же требование сохраняется для "структуры", созданной двумя атомами, удалёнными на заданный вектор, например. Образец должен содержать очень большое количество пар, каждая из которых образована двумя атомами одного типа, удалёнными на тот же вектор. Другими словами, сам по себе образец представляет когерентную структуру. Если порядок в образце нарушен из-за вариаций типов атомов или векторов, разделяющих атомы, это способствует некогерентности.

Чтобы рассеяние от ансамбля атомов было когерентным надо, чтобы свойства и начальной волны, и рассеяния образца были когерентными. Фронты плоских волн в совершенной фазе должны пересекать весь образец в процессе рассеивания (т.е. длина когерентности источника должна быть длиннее образца), и каждый эквивалентный атом в образце должен сохранять ту же длину рассеивания (т.е. в постоянной структуре). Если не все эквивалентные позиции в структуре кристалла заняты атомами одного типа (при рассеивании рентгеновских лучей) или одинаковыми изотопами в одинаковом спиновом состоянии (при нейтронном рассеивании), рассеянное излучение имеет некогерентную составляющую. Некогерентная составляющая в опыте дифракции не содержит структурной информации и способствует фоновому шуму.

Упругое и неупругое рассеивание

Рассеяние считается упругим, когда рассеянный луч имеет ту же энергию, что и начальный луч. При неупругом рассеянии образец либо теряет энергию на излучение или поглощает энергию излучения (сравните со стоксовыми и антистоксовыми линиями при рассеивании света. Стандартные дифракционные опыты, предоставляющие информацию о пространственном расположении атомов, основаны на когерентном упругом рассеивании. Неупругое рассеивание может быть либо когерентным, либо некогерентным. Энергетический обмен при возбуждении образца содержит информацию о динамике. Анализ энергии когерентного неупругого нейтронного рассеивания, например, показал, как тепловая энергия распространяется по волнам атомных колебаний по молекулам, в то время как опыты некогерентного нейтронного рассеивания предоставили информацию по движению отдельных атомов в динамике белка.

Суммирование волн, преобразование Фурье и обратное пространство

Пример с двумя атомами легко переносится на частицу из ансамбля атомов положения которых в пространстве жёстко фиксированы (Рис. Е1.6). Рассеяние от атома в точке P по отношению к произвольному началу O:

A = f exp(iQ·r)

где f – амплитуда рассеяния атома, Q – вектор рассеивания, а r – вектор между точками P и O.

В случае ансамбля атомов рассеянная волна просто даётся суммой индивидуально рассеянных волн по отношению к произвольному началу:

(Е1.10)

где f_j, r_j – соответственно, амплитуда рассеяния и вектор положения по отношению к началу атома j. Значения f_j зависят от Q для рентгеновских лучей (они являются факторами формы атомов), но не зависят от Q для нейтронов. Выбор начала для r_j является произвольным; фаза каждой рассеянной волны в уравнении Е1.10 рассчитывается относительно фазы виртуальной волны, рассеянной точкой в начале. Информация о структуре, содержащаяся в рассеянной волне, возникает из разности фаз между рассеянными волнами, которые не зависят от выбора начала.

Рис. Е1.6 (а) Рассеяние ансамблем атомов в частице. Чёрная стрелка означает начальный луч, красные стрелки представляют рассеянные лучи с различной амплитудой и фазой, распространяющиеся в различных направлениях, соответственно имеют разные углы рассеивания и векторы Q. (б) Волна F(Q) для заданного вектора рассеивания Q.

Отметим, что F(Q) является комплексным числом. Оно определяет волну рассеяния для вектора рассеяния Q по двум величинам: амплитуде и фазе. Информация о фазе теряется, когда измеряется интенсивность волны │F(Q)|².

Уравнение Е1.10 математически доказывает, что F(Q) является преобразованием Фурье распределения f_j(r_j), которое на практике описывает положение атомов в частице. Важным свойством преобразования Фурье является то, что если A является преобразованием B, то B является преобразованием A. Поэтому структура частицы, f (r), может быть рассчитана по наблюдаемой амплитуде рассеяния F(Q). Так как амплитуда рассеяния частицы является непрерывной функцией Q, полезно выполнить обратное преобразование Фурье для уравнения Е1.10 как интеграл:

(Е1.11)

где dV_Q – объём элемента в пространстве Q (также называется обратным пространством. Аналогично, уравнение Е1.10 может быть выражено как интеграл по объёму частицы:

(Е1.12)

Реальное пространство и обратное пространство.

Структура описывается координатами атомов (векторы r) в реальном пространстве. Волна, рассеянная структурой, описывается фазовой амплитудой F как функция вектора волны Q. Из-за того, что единицы измерения Q являются обратными величинами r, математическое пространство, в котором описывается F(Q), называется обратным пространством.

Учтите, что координаты в реальном пространстве слишком малы, чтобы их можно было напрямую "наблюдать" в лаборатории (в отсутствие увеличения системой линз). Мы наблюдаем и измеряем рассеянные волны как функцию угла рассеяния и величине, обратной длине волны излучения в системе координат, которая соответствует обратному пространству.

Между распределениями f(r) и F(Q) существует взаимнооднозначное соответствие. Каждая из них полностью определяется интегралом Фурье другой. Частица "наблюдается" по анализу волн, рассеиваемых ею, F(Q), на возможно большем интервале Q. Её структура (организация атомов в пространстве) затем может быть однозначно рассчитана с разрешением 2π/Q_макс. используя уравнение Е1.11. Однако, для того, чтобы это сделать, необходимо знать амплитуду и фазу каждой рассеянной волны, F(Q).