Гидродинамически эквивалентные тела
Обычно уравнения 18.11, 18.14 и 18.15 используются при работе с относительно большими биологическими макромолекулами (более, чем несколько кДa). Они позволяют выразить измеряемые значения коэффициентов трения и характеристической вязкости через радиус гидродинамически эквивалентной сферы R0, обычно называемым радиусом Стокса. Понятие гидродинамически эквивалентных сферы может быть распространено и на другие гидродинамически эквивалентные формы (рис. 18.6).
Рис. 18.6. Слева: Гидродинамическим эквивалентом белка циклоизомеразы является сфера (PDB код 2ZAD); справа: гидродинамическим эквивалентом белка, связывающего арабинозу, является эллипсоид вращения с отношением осей 2:1 (PDB код 1ABE)
Необходимо ясно себе представлять, что описание частиц на основе гидродинамических эквивалентов не учитывает их конкретную форму, а только одинаковые гидродинамические свойства. Несмотря на то, что такое приближение является достаточно грубым, однако оно во многих случаях оказывается очень близким к поведению частиц в реальных экспериментах.
В случае жестких сфер только один параметр (объем сферы или ее радиус) необходим для полного описания их гидродинамических свойств. Для описания эллипсоида вращения (форма мяча в регби), необходимо определить два параметра – объем и соотношение осей. Для того, чтобы описать вращение эллипсоида в трех плоскостях (осях) требуются три параметра – его объем и отношение осей в двух измерениях.
Методы, представленные в таблице 18.1 отличаются по их относительной чувствительности к этим параметрам. Так, все методы, базирующиеся на поступательном трении, чувствительны к линейным размерам частицы в первой степени, тогда как методы, базирующиеся на вращательном трении чувствительны к линейным размерам в кубе, или иными словами к объему частицы. Характеристическая вязкость чувствительна к объему частицы.
Вычисление гидродинамических свойств частиц разной формы
Современная гидродинамика позволяет вычислять коэффициенты трения биологических макромолекул различной формы. Процедура вычисления зависит от конкретной формы макромолекулы.
Частицы “правильной” округлой формы
Многие биологические макромолекулы, как, например, глобулярные белки или сферические вирусы, имеют округлую форму. В этом случае они хорошо аппроксимируются гидродинамически эквивалентной сферой или гидродинамически эквивалентным двухосным или трехосным эллипсоидом (рис. 18.7).
а) б) в)
Рис. 18.7. Сфера и два эллипсоида вращения с равными объемами.
Вытянутый эллипсоид (б) имеет сигароподобную форму, образуемую при вращении эллипса вокруг его длинной полуоси a; две короткие полуоси b идентичны по длине. Сплюснутый эллипсоид (в) имеет форму диска, образующуюся при вращении эллипса вокруг его короткой полуоси b; две длинные полуоси идентичны по длине. Для каждого вида эллипсоида отношение осей (p) определяется как отношение a/b – длинной и короткой полуосей. Гидродинамические свойства таких частиц могут быть вычислены аналитически.
Частицы “правильной”, граненой формы
Ряд биологических макромолекул в первом приближении могут моделироваться как палочки или цилиндры. Такими молекулами являются маленькие жесткие мономеры, олигомеры ДНК, α-спиральные полипептиды, палочкообразные белки и вирусы. Трудность всех гидродинамических теорий, в которых предпринимается попытка описать фрикционные свойства таких молекул, возникает из-за эффекта концов палочкообразной молекулы. Описание трения куба и треугольной призмы, которые имеют форму с четкими гранями и углами, – одна из трудноразрешимых проблем гидродинамики (рис. 18.8).
Рис. 18.8. Частицы «ломанной» формы имеют резко очерченные края. К ним относятся куб (слева) и круговой цилиндр (в центре) и треугольная призма (справа). Их фрикционные свойства могут быть вычислены только приблизительно
По мере перехода от куба к параллелепипеду эффект концов становится все более заметным. Аналогичный эффект имеет место и для кругового цилиндра.
Частицы произвольной сложной формы
Детальное описание частиц произвольной формы требует определения гораздо большего числа параметров, чем мы можем получить из гидродинамических измерений. Концепция гидродинамически эквивалентных тел в данном случае работает плохо (рис. 18.9).
Рис. 18.9. Примеры частиц произвольной формы: слева – тРНК (PDB код: 4TNA) и справа – иммуноглобулин (PDB код: 1IGT) (частицы изображены не в одинаковом масштабе). Их фрикционные свойства могут быть вычислены только приближенно
В настоящее время разработано несколько подходов для вычисления фрикционных свойств таких частиц. В первом подходе все пространство частицы заполняется сферами одинакового или разного диаметра с тем, чтобы максимально правдоподобно описать её форму. Во втором подходе только её поверхность заполняется маленькими сферами (метод бусинок) или маленькими треугольными панельными элементами (метод чешуек). При определенных условиях такие подходы позволяют вычислять свойства трения частиц произвольной формы с хорошей точностью.
Частицы с известной трехмерной структурой
Впечатляющий прогресс в расшифровке структур белков и нуклеиновых кислот с высоким пространственным разрешением методами рентгеноструктурного анализа (том III) и ЯМР (том IV) стимулировал развитие новых подходов для вычисления гидродинамических параметров таких молекул. На рисунке 18.10 в качестве примера приведена структура лизоцима в атомарном разрешении.
Рис. 18.10. Структура молекулы лизоцима с разрешением на атомном уровне (PDB код 132L). Фрикционные свойства молекул с таким разрешением могут быть предсказаны с точностью около нескольких процентов
Для таких структур предложены различные алгоритмы вычисления их гидродинамических свойств. В одном из них атомы в Сα-положении заменяются сферами соответствующего диаметра или все неводородные атомы заменяются сферами, радиусы которых близки к ванн дер Ваальсовым радиусам. В другом, поверхностные атомы моделируются маленькими сферами или треугольными панельными элементами. Сравнение расчетов с экспериментом показало их хорошее совпадение: с точностью около 1% для поступательного трения и около 2-3% для характеристической вязкости и вращательного трения. Специальные подходы предложены для расчетов молекул ДНК.