3.5. Изгиб с кручением круглого стержня
Такой вид деформирования стержней очень часто встречается в машиностроении. По этой схеме работает подавляющее большинство валов машин: паровых и газовых турбин, двигателей внутреннего сгорания, редукторов, электродвигателей и прочих.
На рис.3.10,а приведена схема нагружения стержня, а на рис.3.10,б – эпюры изгибающих и крутящего моментов. Изгибающий момент в опасном сечении
, (3.23)
где
,
.
Поскольку при изгибе круглого стержня
косой изгиб невозможен, можно найти
изгибающий момент проще –
.
Однако, такой подход пригоден для простой
расчётной схемы на рис.3.10,а. При расчёте
валов машин в разных сечениях вала
нагрузки действуют по различным
направлениям. Поэтому приходится
раскладывать силы на вертикальную и
горизонтальную оси, строить эпюры
изгибающих моментов, действующих в
вертикальной и горизонтальной плоскостях,
и находить изгибающий момент геометрическим
суммированием по формуле (3.23).
а б
Рис.3.10
В опасном сечении стержня (у заделки) от изгиба возникают нормальные напряжения, от кручения – касательные. Из графиков их распределения (рис.3.11,а) видно, что максимальных значений они достигают в одной точке – точке С (или точке D) – крайних точках сечения. В этой точке имеет место плоское напряжённое состояние (рис.3.11,б).
а б
Рис.3.11
В опасной точке
, (3.24)
. (3.25)
Проверку прочности необходимо делать по III-й или по IV-й теориям прочности. Напряженное состояние в точке С идентично напряжённому состоянию при поперечном изгибе, поэтому используем полученные в первой части курса формулы (5.42) и (5.43)
, (3.26)
. (3.27)
Если в условия прочности подставить (3.24) и (3.25), учтя при этом, что Wp = 2Wz,, получим следующие выражения для условий прочности круглого стержня при изгибе с кручением:
, (3.28)
. (3.29)
Выражения (3.28) и (3.29) удобно представлять в форме, аналогичной условию прочности по нормальному напряжению при изгибе (формула (5.20) на с.79 Ч.1)
, (3.30)
. (3.31)
Очевидно, что значения расчётных моментов по III-й (теории наибольших касательных напряжений) и IV-й (энергетической) теориям прочности отличаются незначительно. Запас прочности по III-й теории чуть больше (примерно на 5%).
Рассмотрим пример расчёта вала редуктора (рис.3.12,а). Мощность, передаваемая валом, N = 73,5 кВт; частота вращения ω = 104,7 с-1 (1000 об/мин); допускаемое напряжение [σ] = 12 кН/см2. В сечениях С и D расположены прямозубые зубчатые зацепления, усилия в которых показаны на рис.3.12,б. Необходимо определить диаметр вала d.
Определим усилия, действующие на вал. Крутящий момент:
Усилия в зубчатых зацеплениях:
,
,
.
а б
Рис.3.12
Составляющие усилий в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис.3.13):
Рис.3.13 |
PCY = PCZ = PC ∙ sin 450 = 14 ∙ 0,707 = 9,9 кН; PDY = PD ∙ cos 300 = 7 ∙ 0,866 = 6,1 кН; PDZ = PD ∙ sin 300 = 7 ∙ 0,5 = 3,5 кН. |
Построим эпюры изгибающих и крутящего моментов (рис.3.14).
Рис.3.14 |
∑МА = – 9,9∙10 – 6,1∙40 + RB ∙60=0; RВ = 5,7 кН; ∑у = RA – 9,9 – 6,1 + 5,7=0; RA = 10,3 кН. ∑МА = 9,9∙10 – 3,5∙40 + RB∙60 = 0; RВ = 0,7 кН; ∑у = – RA + 9,9 – 3,5 + 0,7 = 0; RA = 7,1 кН. . |
Далее найдём расчётный момент по первой
формуле (3.31)
=
= 142,1 кН∙см. Затем из условия прочности
(3.30) найдём диаметр
Округляем в большую сторону до ближайшего стандартного. Принимаем d = 50 мм.
Отметим, что в нашем расчёте не учитывались конструктивные особенности вала (переходы диаметров, шпоночные канавки и пр.) и цикличность напряжений во вращающемся вале. Приведённый расчёт на статическое действие нагрузки является основным, по его результатам осуществляют уточнённый расчёт, учитывающий конструктивные особенности вала.