6.4 Многошаговые методы адамса
В отличие от одношаговых методов Рунге-Кутта, эти методы позволяют найти решение с использованием известных решений в нескольких соседних точках.
Итак, предположим, что с помощью какого-либо метода уже получена таблица значений:
x0, x1, x2, …, xn;
y0, y1, y2, …, yn .
Пусть шаг постоянен, т.е. xn – xn–1 = h.
Найдем значение в точке xn+1. Проинтегрируем исходное уравнение (6.1):
и аппроксимируем подынтегральную функцию одного переменного f(x,y(x)) интерполяционным многочленом, который в узлах xn, xn–1, xn–2,… принимает соответствующие значения f(xn,y(xn)), f(xn–1,y(xn–1)), и т.д., например, интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад Nn(x).
Для x = xn + ht
где
Здесь
– конечная разность k-го
порядка
.
Таким образом, получаем экстраполяционную формулу Адамса в разностном виде:
yn+1=yn+h(fn
+
1fn–1
+
2fn–2
+
3fn–3
+
+
4fn–4
+
5fn–5
+ …)+
,
где
. (6.10)
Получим конкретные формулы Адамса в ординатном виде.
1. Ограничимся одним слагаемым в сумме (k=0):
yn+1 = yn + hfn. (6.11)
Получили
формулу Эйлера. Формула первого порядка.
Локальная погрешность
.
2. Ограничимся двумя слагаемыми в сумме (k=1):
yn+1 = yn + hfn + 1fn–1 = yn + hfn + (fn – fn–1) =
= yn + (3fn – fn–1). (6.12)
Формула
второго порядка. Локальная погрешность
.
3. Ограничимся тремя слагаемыми в сумме (k=2):
yn+1 = yn + h(fn + 1fn–1 + 2fn–2) = yn + h[fn + (fn – fn–1) +
+
(fn
– 2fn–1+
fn–2)]
= yn
+
(23fn
– 16fn–1+
5fn–2) (6.13)
Формула
третьего порядка. Локальная погрешность
И так далее.
Указанные формулы называются явными формулами Адамса. Для того чтобы ими пользоваться, необходимо предварительно узнать недостающие начальные значения.
Например, в формуле Адамса третьего порядка (6.13) для n=2
y3 = y2 + (23f2 – 16f1+ 5f0),
необходимо знать (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2). Эти недостающие начальные значения могут быть найдены с помощью одношаговых методов, например методом Рунге-Кутта соответствующей точности.
Это можно отнести к недостаткам методов Адамса. В чем же их преимущество, например, по сравнению с методом Рунге-Кутта?
Возьмем, например, метод Рунге-Кутта четвертого порядка. На каждом шаге требуется четыре раза вычислить значение правой части. В методе же Адамса четвертого порядка:
yn+1
= yn
+
(55fn
– 59fn–1+
37fn–2
–9fn–3),
(6.14)
с
требуется
только одно
вычисление
правой части на каждом шаге, а именно
fn.
Другие значения найдены на предыдущих
шагах.
Отметим, что этот способ не единственный для построения многошаговых формул.
Например, если представить исходное уравнение в виде
и также заменить подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Ньютона, то получается формула вида
или, после интегрирования,
,
называемая экстраполяционной формулой Нистрёма [11].
Частные случаи:
yn+2=yn+2hfn+1 (второй порядок точности);
yn+3=yn+1+ h(7fn+2 – 2 fn+1 + fn) (третий порядок точности).
Или, например, так:
Интегрируя и оставляя 3 слагаемых в правой части, получим формулу Милна 4-го порядка:
