Задача сз

Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D (рис. СЗ.0 — С3.9, табл. СЗ). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах H, К, L или М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и должны быть изображены решающим задачу по данным таблицы. В узле, который в каждом столбце таблицы указан первым, приложена сила Р=200 Н; во втором узле приложена сила Q = 100 Н. Сила Р образует с положительными направлениями координатных осей х, у, z углы, равные соответственно ₁ = 45°, ₁ = 60°, ₁ = 60°, а сила Q — углы ₂ = 60°, ₂ = 45°, ₂ = 60°; направления осей х, у, z для всех рисунков показаны на рис. СЗ.0.

Грани параллелепипеда, параллельные плоскости ху, — квадраты. Диагонали других боковых граней образуют с плоскостью ху угол  = 60°, а диагональ параллелепипеда образует с этой плоскостью угол  = 51°. Определить усилия в стержнях.

На рис. С3.10 в качестве примера показано, как должен выглядеть чертеж С3.1, если по условиям задачи узлы находятся в точках L и М, а стержнями являются LM, LA, LB; MA, MC, MD. Там же показаны углы  и .

Указания. Задача СЗ — на равновесие пространственной системы сходящихся сил. При ее решении следует рассмотреть отдельно равновесие каждого из двух узлов, где сходятся стержни и приложены заданные силы, и учесть закон о равенстве действия и противодействия; начинать с узла, где сходятся три стержня.

Изображать чертеж можно без соблюдения масштаба так, чтобы лучше были видны все шесть стержней. Стержни следует пронумеровать в том порядке, в каком они указаны в таблице; реакции стержней обозначать буквой с индексом, соответствующим номеру стержня (например, N₁, N₂ и т.д.).

Таблица С3

Номер условия	0	1	2	3	4
Узлы	H, M	L, М	К, М	L, H	K, H
Стержни	НМ, НА, НВ, МА, МС, MD,	LM, LA, LD, МА, MB, МС,	КМ, КА, KB, MA, МС, MD,	LH, LC, LD, НА, HB, HC	КН, KB, КС, HA, НС, HD
Номер условия	5	6	7	8	9
Узлы	М, Н	L, Н	К, Н	L, М	К, М
Стержни	МН, MB, МС, НА, HC, HD	LH, LB, LD, НА, НВ, НС	КН, КС, KD, НА, HB, HC	LM, LB, LD, МА, MB, МС	KM, KA, KD, MA, MB, MC

Рис. C3.0 Рис. C3.1 Рис. C3.2

Рис. C3.3 Рис. C3.4 Рис. C3.5

Рис. C3.6 Рис. C3.7 Рис. C3.8

Рис. C3.9 Рис. C3.10

Пример СЗ. Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2,..., 6, соединенных друг с другом (в узлах К и М) и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. СЗ). В узлах К и М приложены силы Р и Q, образующие с координатными осями углы ₁, ₁, ₁ и ₂,₂,₂ соответственно (на рисунке показаны только углы ₁, ₁, ₁).

Дано: Р = 100 Н, ₁ = 60°, ₁ = 60°, ₁ = 45°; Q = 50 Н, ₂ = 45°, ₂ = 60°, ₂ = 60°, ψ = 30°,  = 60°, δ = 74°.

Определить: усилия в стержнях 1—6.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие узла К, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют сила Р и реакции N₁, N₂, N₃ стержней, которые направим по стержням от узла, считая стержни растянутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной системы сходящихся сил:

F_kx = 0, Pcos₁ + N₂sinψ + N₃sin = 0 (1)

F_ky = 0, Pcos₁ – N₁ – N₂cosψ = 0 (2)

F_kz = 0, Pcos₁ – N₃cos = 0 (3)

Решив уравнения (1), (2), (3) при заданных числовых значениях силы Р и углов, получим N₁ = 349 Н,

N₂ = –345 Н, N₃ = 141 Н.

2

Рис. С3

. Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют сила Q и реакции N'₂, N₄, N₅, N₆ стержней. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция N'₂ направлена противоположно N₂, численно же N'₂= N₂.

Составим уравнения равновесия:

F_kx = 0, Qcos₂ – N₂sinψ – N₄ – N₅sinδsinψ = 0 (4)

F_kx = 0, Qcos₂ + N₂cosψ + N₅sinδcosψ = 0 (5)

F_kx = 0, Qcos₂ – N₅cosδ – N₆ = 0 (6)

При определении проекций силы N₅ на оси х и у в уравнениях (4) и (5) удобнее сначала найти проекцию N'₅ этой силы на плоскость х0у (по числовой величине N'₅ = N₅sinδ), а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на оси х, у.

Решив систему уравнений (4), (5), (6) и учитывая, что N'₂ = N₂ = –345 Н, найдем, чему равны N₄, N₅, N₆.

Ответ: N₁ = 349 Н; N₂= –345 Н; N₃ = 141 Н; N₄ = 50 Н; N₅ = 329 Н;

N₆ = –66 Н. Знаки показывают, что стержни 2 и 6 сжаты, остальные — растянуты.