2.13.Определение характеристик корреляционной связи

между сигналами X₁ и X₄, X₂ и X₄.

К характеристикам линейной корреляционной связи между случайными вели­чинами относят момент связи (корреляционный момент) и коэффициент корреляции.Такая связь показывает как при изменении одной случайной вели­чины другая реагирует на это изменение путем изменения своего математичес­кого ожидания. При этом предполагается, что изменение математическго ожидания другой случайной величины происходит по линейному закону. Момент связи относится к числовым характеристикам системы двух случай­ных величин. Он является вторым центральным моментом и равен математи­ческому ожиданию произведения центрированных случайных величин.

Обозначим моменты связи сигналов X₁,X₄ и X₂,X₄ через Кх₁х₄ и Кх₂х₄. Тогда в соответствии с определением запишем

Кх1х4 = М[X1ц ∙ X4ц], Кх2х4 = М[X2ц ∙ X4ц],

где X_1ц = X₁ − М(X₁), X_2ц = X₂ − М(X₂), X_4ц = X₄ − М(X₄) − центрированные сигналы.

Если известны моменты связи, то коэффициенты корреляции определяются но формулам

Rх1х4 = Кх1х4 / (σ (X1) ∙ σ (X4)), Rх2х4 = Кх2х4 / (σ (X2) ∙ σ (X4)).

Поскольку X_4ц = X₄ − М(X₄), то

X4ц = а ∙ (X1 + X2) − а ∙ (М(X1) + М(X1)) = а ∙ (X1ц + X2ц).

Тогда

Kх1х4 = М[X1ц ∙ а ∙ (X1ц + X2ц)] = а ∙ М[X1ц ∙ X1ц + X1ц ∙ X4ц] = = а ∙ [М(X1ц ∙ X1ц) + М(X1ц ∙ X4ц)]

Но М(X_1ц ∙ X_1ц) − дисперсия сигнала X₁, а М(X_1ц ∙ X_4ц) = 0, поскольку в соответствии с заданием сигналы X₁ и X₂ независимы. Поэтому имеем

Kх1х4 = а ∙ D(X1) = а ∙ σ 2(X1).

Аналогично

Kх2х4 = а ∙ D(X2) = а ∙ σ 2(X2).

Тогда коэффициенты корреляции найдутся по формулам

Rх1х4 = а ∙ σ (X1) / σ (X4);
Rх2х4 = а ∙ σ (X2) / σ (X4),

Найдем теперь по записанным формулам численные значения моментов связи и коэффициентов корреляции для наших.

Kх1х4 = 28.0 ∙ 9,61 = 269.08;
Rх1х4 = 28.0 ∙ 3.1 / 146.16 = 0.594;
Kх2х4 = 28.0 ∙ 17.64 = 493.92;
Rх2х4 = 28.0 ∙ 4.2 / 146.16 = 0.805.

2.14.Определение характеристик регрессионной

связи между сигналами X₁ и X₄, X₂ и X₄.

Регрессионной связью называют связь между одним или несколькими ар­гументами и некоторой функцией, которую в общем случае называют функцией отклика − или регрессионной моделью. Характеристики такой связи определяют обычно но результатам эксперимента, применяя для обработки этих результатов статистические методы и, в частности, ме­тод наименьших квадратов. В нашей задаче связь между каждым входным сигналом системы и выходным сигналом является линейной. Поэтому здесь характеристики связи могут быть найдены аналитически. Запишем уравнения линейной регрессионной связи

X4 = k1 ∙ X1 + b1; X4 = k2 ∙ X2 + b2.

(2.30)

_{где k1, b1, k2, b2 − постоянные, пока неизвестные коэффициенты. С целью их определения следует записать нормальные уравнения метода наименьших квадратов для случая линейной модели. Эти уравнения будут линейными алгебраическими уравнениями, которые легко разрешаются относительно неизвестных коэффициентов. Если заменить в выражениях для этих коэффициентов статистические оценки числовых характеристик их теоретическими аналогами, то получим следующие формулы для регрессионной связи сигналов X1,X4:}

k1 = Kх1х4 / D(X1) = Kх1х4 / σ 2(X1); b1 = М(X4) − а ∙ М(X1);

для регрессионной связи сигналов X₂,X₄:

k2 = Kх2х4 / D(X2) = Kх2х4 / σ 2(X2); b2 = М(X4) − а ∙ М(X2).

Найдя эти коэффициенты, запишите уравнения (2.30) с найденными зна­чениями этих коэффициентов и постройте графики линий регрессии X₁,X₄ и X₂,X₄.

В рассматриваемом варианте имеем:

k1 = 368.08 / 9.61 = 28.0;
b1 = 1022.0 − 28.08 ∙ 15.5=588.0;
k2 = 493.92 / 17.64 = 28.0;
b2 = 1022.0 − 28.0 ∙ 21.0 = 434.0.

- 26 -