2.9.Определение вероятностей отказа mi блоков из ni в каждом звене техни­ческой системы.

В соответствии с заданием расчет этих вероятностей необходимо провести для самых неблагоприятных условий эксплуатации. Здесь мы исходим из предположения о неизменности вероятности отказа блока во время эксплуа­тации, а также о независимости опытов, состоящих в отказе любого коли­чества блоков из имеющихся в звене. Искомые вероятности находятся по известной формуле Бернулли

Pn(m) = C(n, m) ∙ pm ∙ (1 − p)(1 − m)

(2.7)

где P_n(m) − вероятность наступления некоторого события A ровно m раз в n независимых опытах, проводимых в одинаковых условиях; p − вероятность наступления события A в каждом опыте; C(n, m) − число сочетаний из n по m.

Заметим, что в комбинаторике сочетаниями называются такие соединения из n элементов по m, которые отличаются между собою самими элементами. Число сочетаний определяется по формуле

C(n, m) = n! / m! / (n − m)!

(2.8)

Наиболее неблагоприятные условия эксплуатации для каждого звена были выяв­лены нами при решении задачи в п. 2.1. Там на основании таблицы вероятностей безотказной работы блоков было установлено, что p_1,min = 0.2, p_2,min = 0.4, p_3,min = 0.4, p_4,min = 0.7. Это наименьшие вероятности безотказной работы блоков в соответствующих звеньях. Следовательно наибольшие вероятности отказа для блоков звеньев будут равны p₁ = 0.8, p₂ = 0.6, p₃ = 0.6, p₄ = 0.3. Принимая во внима­ние эти вероятности отказа , проведем расчет ио формуле Бернулли для каждого звена.

Звено 1. n₁ = 6, p₁ = 0.8,:

Р6(0) = 1 ∙ 0.80 ∙ 0.26 = 0.000064;
Р6(1) = 6 ∙ 0.81 ∙ 0.25 = 0.002;
Р6(2) = 15 ∙ 0.82 ∙ 0.24 = 0.015;
Р6(3) = 20 ∙ 0.83 ∙ 0.23 = 0.082;
Р6(4) = 15 ∙ 0.84 ∙ 0.22 = 0.246;
Р6(5) = 6 ∙ 0.85 ∙ 0.21 = 0.393;
Р6(6)= 1 ∙ 0.86 ∙ 0.20 = 0.262.

Звено 2 и 3. n₂ = n₃ = 3, p₂ = p₃ = 0.6:

Р3(0) = 1 ∙ 0.60 ∙ 0.43 = 0.064;
Р3(1) = 3 ∙ 0.61 ∙ 0.42 = 0.288;
Р3(2) = 3 ∙ 0.62 ∙ 0.41 = 0.432;
Р3(3) = 1 ∙ 0.63 ∙ 0.40 = 0.216;

Звено 4. n₄ = 1, p₄ = 0.3:

Р1(0) = 1 ∙ 0.30 ∙ 0.71 = 0.700;
Р1(1) = 1 ∙ 0.31 ∙ 0.70 = 0.300;

2.10. Определение числа резервных блоков.

Для определения числа резервных блоков для каждого звена с целью замены блоков, вышедших из строя во время эксплуатации будем исходить также из самых неблагоприятных условий эксплуатации, как и в предыдущем пункте. Ответ на поставленный вопрос можно получить по разному. Можно принять за число резервных блоков то, которое в п.2.9 соответствует максимальному значению вероятности отказа. Такое значение дискретной случайной вели­чины называют модой распределения. Однако лучше ориентироваться на математическое ожидание числа отказавших блоков. Поскольку здесь число отказавших блоков есть случайная величина с биномиальным законом распределения, то для такой величины математическое ожидание определяется по формуле

M = n ∙ p.

(2.9)

Тогда получим для каждого звена

M1 = 6 ∙ 0.8 = 4.8;
M2 = 3 ∙ 0.6 = 1.8;
M3 = 3 ∙ 0.6 = 1.8;
M4 = 1 ∙ 0.3 = 0.3.

Округляя полученные значения в большую сторону до ближайшего целого числа, приходим к выводу , что для звена № 1 следует иметь 5 запасных блоков, для звеньев №№ 2,3 по 2 блока и для звена № 4 всего 1 блок.

2.11. Определение числовых характеристик сигналов X₃ и X₄.

Здесь нужно определить числовые характеристики сигналов X₃ и X₄ по заданным числовым характеристиках входных сигналов X₁ и X₂. К таким числовым характеристикам относят математическое ожидание (это среднее значение случайной величины), дисперсию и среднее квадратическое или иначе стандартное отклонение (это характеристики рассеивания или раз­броса возможных значений случайной величины относительно математи­ческого ожидания). При этом среднее квадратическое отклонение равно арифметическому значению корня квадратного из дисперсии. В рассматриваемом варианте входные сигналы имеют нормальные законы распределе­ния с параметрами:

M(X₁) = 15.5; σ(X₁) = 3.1; M(X₂) = 21.0; σ(X₂) = 4.2.

Но X₃ = X₁ + X₂ и X₄ = а ∙ X₃.

Тогда в соответствии с теоремами о математических ожиданиях

M(X₃) = M(X₁) + M(X₂) = 15.5 + 21.0 = 36.5 и

M(X₄) = а ∙ M(X₃) = 28.0 ∙ 36.5 = 1022.

В соответствии с теоремами о дисперсиях дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин, т.е.

D(X₃) = D(X₁) + D(X₂),

а дисперсия произведения постоянной на случайную величину равна квадрату постоянной, умноженной на дисперсию случайной величины, т.е.

D(X₄) = а² ∙ D(X₃).

Поскольку D(X₁) = σ²(X₁) и D(X₂) = σ²(X₂), то имеем

D(X₃) = 9.61 + 17.64 = 27.25;

D(X₄) = 28² ∙ 27.25 = 21364;

σ(X₃) = √[27.25] = 5.22;

σ(X₄) = √[2136.4] = 146.16.

Дополнение

В исходных данных различных вариантов курсовой работы помимо нормаль­ных законов распределения входных сигналов X₁ и X₂ имеют место также равномерные и показательные законы распределения. Если законы равномер­ные, то в соответствии с особенностями этих законов математические ожида­ния и дисперсии входных сигналов X₁ и X₂ определяются по формулам

M(X₁) = (А₁ + В₁) / 2; D(X₁) = (А₁ − В₁)² / 12;

M(X₂) = (А₂ + В₂) / 2; D(X₂) = (А₂ − В₂)² / 12,

где А₁, В₁, А₂, В₂ − левые и правые границы интервалов, в которых заключены возможные значения входных сигналов (их численные значения были заданы выше).

Если законы распределения входных сигналов показательные, то математи­ческие ожидания и дисперсии равны

M(X₁) = 1 / λ₁; D(X₁) = 1 / λ₁²;

M(X₂) = 1 / λ₂; D(X₂) = 1 / λ₂²,

где λ₁ и λ₂ − параметры этих законов.

Формулы для последующего определения числовых характеристик сигналов X₃ и X₄ в случае, когда законы сигналов на входе равномерные или показа­тельные, остаются, естественно, без изменений, то есть теми, которые были использованы выше.

2.12. Определение законов распределения сигналов X₃ и X₄.

Для получения законов распределения сигналов X₃ и X₄ по известным законам распределения входных сигналов X₁ и X₂ необходимо более подробно рассмотреть теоретическое обоснование данной задачи, а затем привести конкрегные примеры не только для случая нормальных законов входных сигналов, но и для равномерных и показательных законов.

2. 12.1. Теоретическое обоснование.

Если случайная величина Z является суммой двух других независимых между собой случайных величин, т.е. Z = X + Y и при этом законы распределения X и Y известны, то закон распределения ве­личины Z называют композицией (сверткой) законов распределения величин X и Y. При этом плотность распределения случайной величины Z находят по формуле

	f (z) =	∞	f (x) ∙ f (z − x) dx.		(2.10)
		∫
		−∞

где пределы интегрирования −∞ и ∞ в конкретной задаче композиции за­конов распределения определяются, исходя из особенностей этой задачи и свойств законов распределения случайных величин X и Y. Таким образом композицией законов распределения в теории вероятностей называют закон распределения суммы двух независимых случайных величин. В настоящем пункте вероятностного анализа требуется определить плотности распределения сигналов X₃ и X₄, т.е. f (х₃) и f (х₄); Поскольку

X3 = X1 + X2

(2.11)

и в соответствии с заданием сигналы X₁ и X₂ считаются между собой неза­висимыми, то, как следует из сказанного выше, закон распределения X₃ может быть найден как композиция законов f (х₁) и f (х₂) по формуле

f (х3) = ∫ f (х1) ∙ f (х3 − х1) dх1.

(2.12)

в которой умышленно пока не записаны нижний и верхний пределы определен­ного интеграла. Что касается закона распределения сигнала X₄, то следует иметь в виду следующее замечание:

Если две случайные величины и Y связаны между собой однозначной функцио­нальной зависимостью Y = F(X), то f (у)dy = f (x)dx. Отсюда имеем

f (у) = f (x) ∙ dх / dy.

(2.13)

В нашем случае X₄ = а ∙ X₃. Тогда f (х₄) = f (х₃) ∙ dх₃ / dх₄. Но X₃ = X₄ / а, и кроме того dх₃ / dх₄ = 1 / а. Следовательно

f (х4) = 1 / а ∙ f (х3)

(2.14)

При конкретной записи этого закона для удобства расчетов следует иметь в виду, что X₃ = X₄ / а. Тогда

f (х4) = 1 / а ∙ f (х4 / а)

(2.15)

После записи выражений для f (х₃) и f (х₄) с соответствующими численными значениями параметров в задании требуется построить графики для f (х₃) и f (х₄).

Рассмотрим вначале композицию равномерных законов распределения.

2.12.2.Композиция равномерных законов распределения.

Пусть имеем входные сигналы с равномерными законами распределения. Здесь удобнее взять конкретные численные значения A₁, B₁ и A₂, B₂. Пусть для сигнала X₁ A₁ = 1, B₁ = 3, а для сигнала Х₂ A₂ = 2, B₂ = 5. Таким образом плотности распределения сигналов X₁ и Х₂ имеют вид

f (х1) = 1 / 2, 1 ≤ х1 ≤ 3; f (х1) = 0, х1 < 1, х1 > 3.	(2.16)
f (х2) = 1 / 3, 2 ≤ х2 ≤ 5; f (х2) = 0, х2 < 2, х2 > 5.	(2.17)

В соответствии с формулой (2.12) запишем

f (х3) = 1 / 6 ∙ ∫ dх1

(2.18)

Как и ранее пределы интегрирования здесь пока отсутствуют. Для их определе­ния рассмотрим область интегрирования. Имея в виду, что

х2 = х3− х1 и 2 ≤ х3 − х1 ≤ 5

(2.19)

Р ис. 2.1. Область интегрирования.

построим эту область в системе координат Oх1х3 (рис.2.1). Преобразуем левую часть неравенства (2.19) в равенство: 2 = х3 − х1. Тогда, если х1 = 1, то х3 = 3, а если х1 = 3, то х3 = 5. Построим прямую, проходящую через эти точки. Уравнение этой прямой х1 = х3 − 2. Поступим также с правой частью неравен­ства (2.19) х3 − х1 = 5. Тогда, если х1 = 1, то х3 = 6, а если х1 = 3 , то х3 = 8. Через эти точ­ки также проведем прямую с уравнением х1 = х3 − 5. Между построенными прямыми и вертикальными линиями х1 = 1, х1 = 3 имеет место допустимая область интегрирования. Разобьем эту область на три части. Теперь вернемся к формуле (2.18) и вычислим опре­деленный интеграл на каждой из частей ри­сунка 2.1.

Для части I:

3 ≤ х3 ≤ 5	f (х3) =	х3 − 2	(1/6) ∙ dx1 = (1/6) ∙ (х3 − 3);
		∫
		1

Для части II:

5 ≤ х3 ≤ 6	f (х3) =	3	(1/6) ∙ dx1 = 1/3;
		∫
		1

Для части III:

3 ≤ х3 ≤ 5	f (х3) =	3	(1/6) ∙ dx1 = (1/6) ∙ (8 − х3);
		∫
		х3 − 5

Таким образом на каждом из указанных интервалов изменения случайной величины х₃ плотность распределения имеет различный вид. Мы получили здесь закон равнобедренной трапеции (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2. Плотность распределения закона f (х3).

Итак , закон распределения сигнала X₃ f (х₃) найден, построен график, иллюстрирующий этот закон. Теперь в соответствии с формулой (2.15) запишите плотность распределения f (х₄) для сигнала X₄. Следует иметь в виду, что линейное преобразование X₄ = а ∙ X₃ не изменит вид этого закона (он тоже будет законом равнобедренной трапеции), Изменятся лишь его параметры. Конкретную запись f (х₄) и график f (х₄) необходимо выполнить самостоятельно.

2.12.3. Композиция показательных законов распределения.

Предположим, что входные сигналы X₁ и X₂ имеют показательные законы распределения с параметрами λ₁ и λ₂, т.е.

f (х1) = λ1 ∙ exp(− λ1 ∙ х1), λ1 > 0, х1 ≥ 0;	(2.20)
f (х2) = λ2 ∙ exp(− λ2 ∙ х2), λ2 > 0, х2 ≥ 0;	(2.21)

Найдем закон распределения сигнала X₃ f (х₃) в этом случае. В соответствии с формулой (2.10) запишем

f (х3) = ∫ λ1 ∙ exp(− λ1 ∙ х1) ∙ λ2 ∙ exp(− λ2 ∙ (х3 − х1)) dх1

(2.22)

Здесь пока не указаны пределы интегрирования. Поскольку х₁ ≥ 0, то очевидно нижний предел интегрирования равен 0. Верхний предел можно найти, если считать, что х₂ = х₃ − х₁ ≥ 0. Отсюда следует, что х₃ ≥ х₁. Поэтому верхний предел при интегрировании по х₁ должен быть равен х₃. Тогда формула (2.22) примет вид

	f (х3) = λ1 ∙ λ2 ∙	х3	exp(− λ1 ∙ х1) ∙ λ2 ∙ exp(− λ2 ∙ (х3 − х1)) dх1		(2.23)
		∫
		0

Заметим, что х₃ не зависит от переменной интегрирования. Поэтому множитель под интегралом exp(− λ₂ ∙ х₃) можно вынести за знак интеграла. Получим пос­ле интегрирования

f (х3) = λ1 ∙ λ2 / (λ2 − λ1) ∙ [exp(− λ1 ∙ х3) − exp(− λ2 ∙ х3)]

(2.24)

Закон распределения f (х₃), определяемый формулой (2.24), в теории вероятнос­тей называют обобщенным законом распределения Эрланга 1-го порядка. Обоб­щенным потому, что он справедлив при композиции показательных законов рас­пределения с разными параметрами λ₁ и λ₂. Если λ₁ = λ₂ = λ, то закон называют законом Эрланга 1-го порядка. Он имеет вид

f (х3) = λ2 ∙ х3 ∙ exp(−λ ∙ х3)

(2.25)

Рис. 2.3.Плотность закона распределения Эрланга.

Закон Эрланга 2-го порядка предполагает, что в композиции не два слагаемых, а три, 3-го порядка − четыре и т.д. График плотности распределения для закона Эр­ланга представлен на рис. 2.3.

Здесь также, как и ранее плотность распределения сигнала f (х₄) запишется в виде

f (х4) = 1 / а ∙ f (х4 / а)

Этот закон также будет законом Эрланга, но численные значения его пара­метров будут другими. Конкретные выражения для законов f (х₃) и f (х₄) с указанием численных значений параметров нужно записать самостоятельно, а также построить соответствующие графики.

2.12.4.Композиции нормальных законов распределения.

Можно показать, что композиция двух и более нормальных законов расиредслсия дает всегда нормальный закон. Говорят, что нормальный закон замкнут отно­сительно операции свертки законов. Замкнут в том смысле, что он не допускает в пространство нормальных законов никаких других законов, кроме нормально­го. Для доказательства этих утверждений лучше всего использовать аппарат характеристических функций. Характеристической функцией Qх(t) случайной величины X называется математическое ожидание величины exp(i ∙ t ∙ x), где t − произвольный вещественный параметр, а i − комплексная мнимая единица. Тогда

	Qх(t) =	∞	exp(i ∙ t ∙ x) ∙ f (х) ∙ dx.		(2.26)
		∫
		−∞

Интеграл (2.26) носит название интеграла Фурье и выражает преобразование Фурье функции f (х). Из теории преобразования Фурье следует, что сели извест­на функция Qх(t) то функция f (х) может быть определена с помощью обрат­ного преобразования Фурье, т.е.

	f (х) =1/(2π) ∙	∞	exp(i ∙ t ∙ x) ∙ Qх(t) ∙ dt.		(2.27)
		∫
		−∞

Выражение (2.27) позволяет сделать вывод: плотность распределения случай­ной величины однозначно определяется ее характеристической функцией. Можно показать, что характеристическая функция нормального закона распределения имеет вид

Qх(t) = exp(i ∙ M(x) ∙ t − σ 2(х) ∙ t 2 / 2)

(2.28)

а характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин Z = Х + Y , которые нормально распределены, записывается в виде

Qz(t) = exp(i ∙ M(z) ∙ t − σ 2(z) ∙ t 2 / 2)

(2.29)

где M(z) = M(x) + M(y); σ ²(z) = σ ²(x) + σ ²(y).

Выражение (2.29) свидетельствует о том, что при композиции нормальных распределений получается снова нормальное распределение с центром рассеи­вания M(z) = M(x) + M(y) и средним квадратическим отклонением σ(z) = √[σ ²(x) + σ ²(y)]

_{Исходя из изложенного, запишем выражение для плотности распределения сигнала X3}

f (х3) = 1/( σ(X3) ∙ √(2π)) ∙ exp[−(х3 − M(X3))2/(2 σ 2(X3))]

где M(X₃) = M(X₁) + M(X₂), σ (X₃) = √[σ ²(X₁) + σ ²(X₂)].

Кроме того

f (х4) = 1/( σ(X4) ∙ √(2π)) ∙ exp[−(х4 − M(X4))2/(2 σ 2(X4))]

где M(X₄) = а ∙ M(X₃), σ (X₄) = а ∙ σ (X₃).

Графики для законов f (х₃) и f (х₄) имеют известный вид распределения Гаусса (именно так чаще называют нормальный закон). На рис.2.4.приво-дится график плотности распределения такого закона.

Рис.2.4.Плотность нормального закона распределения.

Как видно, это распределение строго симметрично относительно своего ма­тематического ожидания. Вам нужно в соответствии с исходными данными своего варианта записать конкретные выражения для плотностей распреде­ления f (х₃) и f (х₄) с указанием численных значений параметров этих распре­делений и построить соответствующие графики.