2.5.Определение полной вероятности безотказной работы системы.

Для расчета этой вероятности используем формулу (2.3) применительно ко всей системе. Как и в п.2.3 (H₁) = 0.2, Р(H₂) = 0.7, Р(H₃) = 0.1, а вероятности Р(А_с,в), Р(А_с,ср) и Р(А_с,н) были рассчитаны в предыдущем пункте. Поэтому

Р(Ас) = 0.2 ∙ 0.424 + 0.7 ∙ 0.571 + 0.1 ∙ 0.354 = 0.520.

2.6.Определение наиболее вероятных условий эксплуатации

в случае отказа системы.

Предположим, что система отказала во время эксплуатации. В каком режиме эксплуатации она находилась? Для ответа на этот вопрос следует применить формулу Бейеса. Эта формула позволяет переоценить ранее заданные априор­ные (доопытные) вероятности гипотез P(H_i) в случае, когда некоторое событие А произошло, т. е. найти так называемые апостериорные (послсопытные) вероят­ности P(H₁ /A_i).

P(Hi /A) = P(Hi) ∙ P(A/Hi) / Р(А).

(2.4)

Запишем формулу (2.4) по отношению к событию А_с^* − отказ системы (это собы­тие противоположное по отношению к событию А_с).

P(Hi /Aс*) = P(Hi) ∙ P(Aс*/Hi) / Р(Ас*).

(2.5)

Найдем прежде всего Р(А_с^*) и P(A_с^*/H_i). Из п. 2.5 имеем

Р(Ас*) = 1 − Р(Ас) = 1 − 0.520 = 0.480;

Из п.2.4 получим

P(Aс*/H1) = 1 − 0.424 = 0.576;
P(Aс*/H2) = 1 − 0.571 = 0.429;
P(Aс*/H3) = 1 − 0.354 = 0.646.

эти результаты записаны на основании того, что сумма вероятностен прямого н противоположного событий равна единице

Р(А) + Р(А*) = 1.

Расчеты по формуле (2.5) дают следующие результаты:

P(H1 /Aс*) = 0.2 ∙ 0.576 / 0.480 = 0.240;
P(H1 /Aс*) = 0.7 ∙ 0.429 / 0.480 = 0.626;
P(H1 /Aс*) = 0.1 ∙ 0. 646 / 0.480 = 0.135.

Таким образом наиболее вероятный режим эксплуатации системы в случае ее отказа − средние температуры.

2.7. Определение оптимального плана отыскания неисправного звена.

Ответив на этот вопрос, мы можем рекомендовать эксплуатационникам такой план отыскания неисправного звена системы, который в среднем приведет к экономии времени, а следовательно и средств, необходимых для ремонта. Здесь мы исходим из предположения, что во время эксплуатации система отказала за счет отказа только одного звена из четырех последовательно соединенных звеньев. Начнем с того, что введем гипотезы:

G₁ − отказало 1-оe звено;

G₂ − отказало 2-оe звено;

G₃ − отказало 3-оe звено;

G₄ − отказало 4-оe звено.

Очевидно

G1 = A1* ∙ A2 ∙ A3 ∙ A4;
G2 = A1 ∙ A2* ∙ A3 ∙ A4;
G3 = A1 ∙ A2 ∙ A3* ∙ A4;
G4 = A1 ∙ A2 ∙ A3 ∙ A4*.

Считая события − отказ звеньев и их работу независимыми, по правилу умножения вероятностей для независимых событий запишем

P(G1) = P(A1*) ∙ P(A2) ∙ P(A3) ∙ P(A4);
P(G2) = P(A1) ∙ P(A2*) ∙ P(A3) ∙ P(A4);
P(G3) = P(A1*) ∙ P(A2) ∙ P(A3*) ∙ P(A4);
P(G4) = P(A1*) ∙ P(A2) ∙ P(A3) ∙ P(A4*);

В записанных выражениях P(A_i) и P(A_i^*) (i = 1, 2, 3, 4) − соответственно полные вероятности работы и отказа i-го звена. Значения P(A_i) найдены в п. 2.3, а P(A_i^*) = 1 − P(A_i). В результате вычислений получим:

P(G1) = 0.053 ∙ 0.857 ∙ 0.909 ∙ 0.700 = 0.029;
P(G2) = 0.947 ∙ 0.143 ∙ 0.909 ∙ 0.700 = 0.086;
P(G3) = 0.947 ∙ 0.857 ∙ 0.091 ∙ 0.700 = 0.052;
P(G4) = 0.947 ∙ 0.857 ∙ 0.909 ∙ 0.300 = 0.221.

Теперь найдем полную вероятность отказа системы при сделанных выше пред­положениях. Заметим, что значение этой вероятности не будет совпадать с той полной вероятностью отказа системы, которая была рассчитана в н. 2.5. Заме­тим также, что здесь в формуле полной вероятности отказа

Р(Aс*) = Σ P(Gi) ∙ P(Aс*/Gi),

все P(A_с^*/G_i) = 1, ибо при справедливости любой из четырех гипотез вероятность отказа системы, как вероятность достоверного события, равна единице.

Следовательно

Р(Aс*) = 0.029 + 0.086 + 0.052 + 0.221=0.388.

Далее по формуле Бейеса переоценим вероятность каждой из гипотез, полагая, что событие A_с^* произошло. Получим

P(G1/Aс*) = 0.029 / 0.388 = 0.075;
P(G2/Aс*) = 0.086 / 0.388 = 0.222;
P(G3/Aс*) = 0.052 / 0.038 = 0.134;
P(G4/Aс*) = 0.221 / 0.388 = 0.570.

Сравнительный анализ полученных результатов свидетельствует о том, что оп­тимальный план проверки звеньев с целью отыскания неисправного звена такой

4 → 2 → 3 → 1.