2.3.Определение полных вероятностей безотказной работы

звеньев системы.

С этой целью применим формулу полной вероятности. Эта формула позволяет найти вероятность некоторого события с учетом всех возможных условий его наступления. В качестве таких условий выдвигают гипотезы, определяющие эти условия

Р(А) = Σ P(Hi) ∙ P(A/Hi),

(2.3)

где P(H_i) − вероятности гипотез; P(A/H_i) − вероятность события A, рассчитанная при условии, что гипотеза H_i справедлива (условная вероятность события A).

В решаемой задаче необходимо ввести три гипотезы :

H₁ − система эксплуатируется в условиях высоких температур;

H₂ − систсма эксплуатируется в условиях средних температур;

H₃ − система эксплуатируется в условиях низких температур.

Численные значения вероятностей гипотез легко находятся из заданного процентного распределения по условиям эксплуатации

Р(H₁) = 0.2, Р(H₂) = 0.7, Р(H₃) = 0.1.

Введем здесь события A₁, A₂, A₃, A₄, состоящие в том, что исправны 1,2,3,4 звено.

Тогда в соответствии с формулой (2.3) для i-го звена запишем

Р(Аi) = P(H1) ∙ P(Ai /H1) + P(H2) ∙ P(Ai /H2) + P(H3) ∙ P(Ai /H3),

где Р(А_i) - полная вероятность безотказной работы i-го звена;

P(A_i /H_j) - вероятности безотказной работы i-го звена в соответствующих температурных режимах. Они были рассчитаны нами в п. 2.2.

Подставляя в последнюю формулу значения вероятностей, получим

Р(А1) = 0.2 ∙ 0.882 + 0.7 ∙ 0996 + 0.1 ∙ 0.738 = 0.947;
Р(А2) = 0.2 ∙ 0.784 + 0.7 ∙ 0.875 + 0.1 ∙ 0.875 = 0.857
Р(А3) = 0.2 ∙ 0.875 + 0.7 ∙ 0.936 + 0.1 ∙ 0.784 = 0.909
Р(А4) = 0.2 ∙ 0.700 + 0.7 ∙ 0.700 + 0.1 ∙ 0.700 = 0.700

2.4. Определение вероятностей безотказной работы системы в различных условиях эксплуатации.

Здесь следует найти Р(А_с,в), Р(А_с,ср), Р(А_с,н) вероятности безотказной рабо­ты всей системы при высоких, средних и низких температурах. Заметим, что если в системе звенья соединены последовательно, то событие А_с, состоящее в работе системы представляется в виде произведения событий, состоящих в работе всех четырех звеньев, т.е.

Ас = A1 ∙ A2 ∙ A3 ∙ A4.

Если в записанном произведении события независимы (а мы исходим из такого предположения), то вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей. Применяя эту формулу для расчета Р(А_с,в), запишем

Р(Ас,в) = Р(А1,в) ∙ Р(А2,в) ∙ Р(А3,в) ∙ Р(А4,в).

Получим после подстановки значений вероятностей

Р(Ас,в) = 0.822 ∙ 0.784 ∙ 0.875 ∙ 0.700 = 0.424.

Аналогично для средних и низких температур

Р(Ас,ср) = Р(А1,ср) ∙ Р(А2,ср) ∙ Р(А3,ср) ∙ Р(А4,ср).
Р(Ас,ср) = 0.996 ∙ 0.875 ∙ 0.9369 ∙ 0.700 = 0.571
Р(Ас,н) = Р(А1,н) ∙ Р(А2,н) ∙ Р(А3,н) ∙ Р(А4,н).
Р(Ас,н) = 0.738 ∙ 0.875 ∙ 0.784 ∙ 0.700 = 0.354