2. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

В современных конструкторских бюро в процессе проектирования сложных технических систем проводятся расчеты с целью обоснования конструктивных характеристик системы. Однако, помимо указанных расчетов, проводят также исследования с широким применением вероятностно- статистических методов. Это позволяет проектировщикам более полно учесть при проектировании воз­действие множества случайных факторов при эксплуатации системы, рассмо­треть не только осредненные значения этих факторов, но и характеристики их рассеивания, вероятностные законы и параметры этих законов. Только в этом случае можно утверждать , что в процессе проектирования системы учтены все возможные отклонения условий эксплуатации от так называемых нормальных (стандартных) условий и найденные параметры системы будут отвечать требова­ниям задания на проектирование. Ниже, в первой части курсовой работы, имену­емой вероятностным анализом технической системы, мы ставим задачу показать на учебном примере возможности такого анализа, проиллюстрировав это получением ответов на поставленные вопросы путем использования основных положений теории вероятностей и соответствующих формул.

Прежде всего запишем заданные в варианте вероятности безотказной работы блоков звеньев системы в условиях высоких, средних и низких температур.

Температуры	Звенья
	1	2	3	4
Высокие	0,3	0,4	0,5	0,7
Средние	0,6	0,5	0,6	0,7
Низкие	0,2	0,5	0,4	0,7

Процентное распределение по режимам эксплуатации для высоких температур K = 20%, для средних L = 70% и для низких M = 10%. Законы распределения входных сигналов X₁ и X₂ нормальные с параметрами:

- для сигнала X₁ математическое ожидание:

M(X₁) = 0.5 + 0.5 * 30 = 15.5,

среднее квадратическое отклонение:

σ (X₁) = 15.5 / 5 = 3.1;

- для сигнала X₂ математическое ожидание:

М(X₂) = 6.0 + 0.5 * 30 = 21.0,

среднее квадратическое отклонение:

σ (X₂) = 21.0 / 5 = 4.2.

Коэффициент усиления:

а = 1.0 + 0.9 * 30 = 28.0.

Перейдем теперь к последовательному выполнению пунктов вероятностного анализа.

2.1. Определение наименьшего числа параллельно соединенных

блоков в каждом звене, обеспечивающих заданную надежность звена в наихудших условиях эк­сплуатации.

Обозначим наименьшее число блоков в i-ом звене через n_i,min (i = 1, 2, 3, 4). При параллельном соединении блоков вероятность безотказной работы звена определается по формуле:

Р(А) = 1 − (1 − p) n,

(2.1)

где Р(А) − вероятность безотказной работы звена; p − вероятность безотказной работы отдельно взятого блока; n − число блоков в звене.

Как следует из приведенной таблицы Р_тр = 0.7, так как блок для звена 4 является самым надежным и его характеристика надежности не изме­няется при изменении условий эксплуатации. Наихудшие условия эксплуатации легко определяются из анализа данных той же таблицы. Для звена № 1 это низ­кие температуры p_1,min = 0.2, для звена № 2 − высокие p_2,min = 0.4, для звена № 3 − низкие p_3,min = 0.4. Для расчетов n_i,min формулу (2.1) запишем в виде

Р(А) = 1 − (1 − pi,min) ni,

(2.2)

откуда имеем

ni,min = ln(1 − Ртр) / ln(1 − pi,min).

Тогда

n1,min = ln(1 − 0.7) / ln(1 − 0.2) = 5.4
n2,min = ln(1 − 0.7) / ln(1 − 0.4) = 2.4
n3,min = ln(1 − 0.7) / ln(1 − 0.4) = 2.4
n4,min = ln(1 − 0.7) / ln(1 − 0.7) = 1

Округляя полученные результаты до целых чисел в большую сторону, получим n_1,min = 6; n_2,min = n_3,min = 3 и n_4,min = 1.

2.2.Определение вероятностей безотказной работы звеньев в различных условиях эксплуатации.

В дальнейшем все вероятности будем считать с точностью до 0.001.

Обозначим события, состоящие в том, что соответствующее звено работает в различных температурных режимах следующим образом:

− для 1-го звена А_1,в; А_1,ср; А_1,н;

− для 2-го звена А_2,в; А_2,ср; А_2,н;

− для 3-го звена А_3,в; А_3,ср; А_3,н;

− для 4-го звена А_4,в; А_4,ср; А_4,н.

Тогда получим в соответствии с формулой (2.1)

P(А1,в) = 1 − (1 − 0.3)6 = 0.882
P(А1,ср) = 1 − (1 − 0.6)6 = 0.996
P(А1,н) = 1 − (1 − 0.2)6 = 0.738
P(А2,в) = 1 − (1 − 0.4)3 = 0.784
P(А2,ср) = 1 − (1 − 0.5)3 = 0.875
P(А2,н) = 1 − (1 − 0.5)3 = 0.875
P(А3,в) = 1 − (1 − 0.5)3 = 0.875
P(А3,ср) = 1 − (1 − 0.6)3 = 0.936
P(А3,н) = 1 − (1 − 0.4)3 = 0.784
P(А4,в) = 1 − (1 − 0.7) = 0.700
P(А4,ср) = 1 − (1 − 0.7) = 0.700
P(А4,н) = 1 − (1 − 0.7) = 0.700

Таким образом все полученные характеристики надежности, как и требовалось, равны или выше 0.7.