5.4. Вопросы к экзамену

1. Дайте определение первообразной функции. Укажите геометрический смысл совокупности первообразных функций. Напишите таблицу основных интегралов.

2. Докажите простейшие свойства неопределённого интеграла. Выведите формулу замены переменной в неопределённом интеграле.

3. Выведите формулу интегрирования по частям для неопределённого интеграла. Укажите типы интегралов, нахождение которых целесообразно производить при помощи метода интегрирования по частям.

4. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей I,II,III и IV типов.

5. Изложите метод нахождения интегралов вида .

6. Изложите методы нахождения интегралов вида , , .

7. Изложите методы нахождения интегралов вида , где , - целые числа.

8. Как находятся интегралы вида , где - рациональная функция?

9. Найдите , , .

10. Дайте определение определённого интеграла и укажите его геометрический и механический смысл.

11. Перечислите и докажите основные свойства определённого интеграла.

12. Докажите теорему о среднем для определённого интеграла и поясните её геометрический смысл.

13. Выведите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла.

14. Дайте определение несобственного интеграла первого рода, укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна.

15. Дайте определение несобственного интеграла второго рода, укажите его геометрический смысл в случае, когда подынтегральная функция неотрицательна.

16. Выведите формулу для вычисления площади криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат. Приведите пример.

17. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной уравнением в декартовой системе координат.

18. Выведите формулу для вычисления объёма тела по известным площадям поперечных сечений. Вычислите с её помощью объём эллипсоида

19. Выведите формулу для вычисления объёма тела вращения. Приведите пример.

20. Выведите формулу для вычисления координат центра тяжести плоской линии и плоской фигуры. Приведите примеры.

Библиографический список

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1988. - 176 с.

2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М,: Наука, 1988. - 432 с.

3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1985. - 448 с.

4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.: Интеграл-пресс, 1997. - Т. I, 2.

5. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. - М.: Наука, 1973. - 576 с.

6. Мышкис А. Д. Математика для втузов. Специальные курсы. - М.: Наука, 1971. - 632 с.

7. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: Наука, 1980. - 320 с.

8. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Задачник. - М.: Наука, 1982. – 238 с.

9. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. - М.: Наука, 1981. - 464 с.

10. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа / Под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича, - М: Наука, 1981. - 368 с.

11. Сборник задач по математике для втузов. Специальные курсы / Под ред. А. В. Ефимова. - М.: Наука, 1984. – 211 с.

Учебное издание

Иванов Олег Иванович

Палфёрова Сабина Шехшанатовна

Бабенко Николай Григорьевич