4.4. Вопросы к экзамену
Дайте определение производной. Каков её геометрический и механический смысл?
Выведите формулы производных суммы, произведения, частного двух функций.
Выведите формулы производных: постоянной, произведения постоянной на функцию, тригонометрических и логарифмических функций.
Изложите правило логарифмического дифференцирования. Выведите формулы производных: степенной функции с любым действительным показателем, показательной функции, сложной показательной функции.
Докажите теорему о производной обратной функции. Выведите формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций.
Выведите формулу дифференцирования сложной функции. Дайте определение дифференциала функции.
Дайте определение производных высших порядков. Как находятся первая и вторая производные функции, заданной параметрически?
Сформулируйте определение возрастающей и убывающей на отрезке функции. Выведите достаточный признак возрастающей функции.
Сформулируйте определение точки экстремума функции и правила отыскания точек экстремумов функции.
Как найти наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на отрезке?
Сформулируйте определения выпуклости и вогнутости линии, точки перегиба.
Как находятся вертикальные и невертикальные асимптоты линии, заданной уравнением ?
Изложите схему общего исследования функции и построения её графика.
Выведите правило Лопиталя для раскрытия неопределённости вида
.
Перечислите различные типы
неопределённостей, для раскрытия
которых может быть использовано правило
Лопиталя.Дайте определение функции нескольких переменных. Что называется областью определения функции двух переменных, областью изменения и частным значением такой функции? Каково геометрическое изображение функции
в прямоугольной системе координат?Дайте определение частных производных функции двух переменных. Что они определяют геометрически? Что называется полным дифференциалом функции двух переменных в данной точке?
Выведите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке
.
Поясните геометрический смысл полного
дифференциала функции двух переменных.Выведите формулы для нахождения
и
сложной функции
,
где
,
.Что называется производной от функции
в данной точке
по направлению вектора
,
градиентом скалярного поля
в данной точке
,
векторным полем градиентов? Как
выражается производная по направлению
через градиент и единичный вектор
направления дифференцирования?Сформулируйте правило нахождения экстремумов функции двух переменных. Выведите правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области. Изложите метод нахождения условных экстремумов функции двух переменных, если эти переменные связаны одним условием.
5. Интегральное исчисление функции одной и нескольких переменных Литература: [2], гл. V, VII; [4], т. 1, гл. X-XII; [5], гл. XIII, XIV; [8], гл. II.