3.3 Евольвента кола, її рівняння і властивості

Евольвентою кола називається крива, яка описує будь-яка точка кривої при її перекочуванні без ковзання по цьому колу. Коло, по якому перекочується пряма, називається основним, а пряма – твірною прямою.

На рис.3.10 зображені основне коло радіуса r_b і твірна пряма n-n, яка в початковому положенні показана штрихами. При перекочуванні твірної прямої по основному колу в одному напрямку точка К прямої описує праву гілку евольвенти K_bK_y, а при перекочуванні твірної прямої у протилежному напрямку – ліву гілку евольвенти .

Рис.3.10. Утворення евольвенти

Поточний радіус-вектор евольвенти в точці К_у позначений r_y. Початковий радіус-вектор евольвенти OK_b дорівнює радіуса основного кола r_b. Гострий кут α_у між дотичною t-t до евольвенти в точці К_у і її радіусом-вектором ОК_у називається кутом профілю. Можна показати, що кут .

Кут ϴ_у, утворений початковим радіусом-вектором евольвенти OK_b і її поточним радіусом-вектором ОК_у, називається евольвентним-кутом, або інволютою кута α_у, тобто .

Положення будь-якої точки евольвенти цілком визначається двома параметрами: радіусом-вектором r_y і евольвентним кутом ϴ_у.

В зв’язку з тим, що пряма n-n перекочується по основному колу без ковзання, можна скласти рівність . Підставивши значення дуги і відрізка, будемо мати

,

звідки

. (3.5)

Зв’язок між радіусом-вектором r_y і кутом α_у встановлюється із трикутника K_yON_y залежністю.

. (3.6)

Формули (3.5) і (3.6) виражають рівняння евольвенти в параметричній формі.

Для геометричної теорії зачеплення важливе значення мають такі основні властивості евольвенти:

• евольвента – симетрична крива, що має дві гілки, які сходяться в точці К_b на основному колі; отже, евольвента не має точок всередині основного кола;

• точка N_y є миттєвий центр обертання прямої п-п і центр кривизни евольвенти в точці К_у; тому нормаллю до евольвенти в будь-якій її точці є пряма, дотична до основного кола;

• відрізок К_у N_y є радіус кривизни евольвенти в точці К_у;

• кут профілю α_у і радіус кривизни ρ_у в початковій точці евольвенти (К_b) дорівнюють, нулю; при віддаленні точок евольвенти від основного кола кут профілю α_у і радіус кривизни ρ_у збільшуються;

• при збільшенні радіуса основного кола кривизна евольвентного профілю поступово зменшується і при r_b=∞ евольвента перетворюється у пряму лінію.

3.4. Параметри евольвентного циліндричного нормального зубчастого колеса

Параметрами зубчатого колеса називаються розрахункові величини, які визначають основні розміри колеса. Ці параметри розглядають в будь-якому перерізі колеса площиною, перпендикулярною до його осі, тобто в торцевому перерізі. Розглянемо параметри циліндричного прямозубого зубчастого колеса.

В торцевому перерізі колеса (рис.3.11) коло западин діаметра d_f обмежує зуб’ї з боку тіла колеса, а з другого боку зуб’ї обмежені колом вершин діаметра d_a. Відстань між колами вершин і западин визначає висоту зуба h. Евольвентний профіль зуба відповідає цілком визначеному основному колу діаметра d_b. Крім перелічених кіл на рис.3.11 показане так зване ділильне коло діаметром d.

Ділильним називається таке коло, яке перетинає боковий евольвентний профіль зуба в точці, для якої кут профілю . У відповідності з рівнянням (3.6) одержуємо таку залежність між діаметрами ділильного та основного кіл:

. (3.7)

Рис.3.11. Параметри евольвентного циліндричного

нормального зубчастого колеса

Якщо довжина кола – ділильного, основного – поділити на число зуб’їв колеса, то одержимо довжини дуг між однойменними профілями двох сусідніх зуб’їв, які називаються відповідно кроком р по ділильному колу і кроком p_b по основному колу.

Отже, кроком зубчастого колеса називається відстань між однойменними точками двох сусідніх зуб’їв, виміряна по дузі відповідного кола. Дуги р і p_b відповідають одному і тому ж кутовому кроку . Звідси випливає, що кроки пропорційні радіусам відповідних кіл. Кутовий крок можна також визначити із співвідношення

,

де Z – число зуб’їв зубчастого колеса.

Важливим параметром зубчастого колеса є крок р по ділильному колу. Очевидно, що крок р, помножений на число зуб’їв Z визначає довжину ділильного кола:

,

звідки

. (3.8)

Величина m, що являє собою відношення кроку р до числа π, називається модулем зубчастого колеса. Модуль вимірюється в міліметрах. Значення модуля залежить від того, по якому колу він вимірюється. Значення модуля по ділильному колу стандартизовані.

Стандартом встановлені два ряди модулів. У першому ряду, якому слід віддавати перевагу, передбачені такі модулі в міліметрах: 0,05; 0,06; 0,08; 0,1; 0,12; 0,15; 0,2; 0,25; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,8; 1,0; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 16; 20; 25; 32; 40; 50; 60; 80; 100.

У другому ряду передбачені модулі, проміжні між модулями першого ряду, наприклад: 0,07; 0,09; 3,5; 4,5; 7; 9; 11 та інші.

За допомогою модуля по ділильному колу визначаються усі розміри зубчастого колеса. Так, наприклад, на основі рівностей (3.7) і (3.8) матиме таку формулу для діаметра основного кола:

. (3.9)

Із співвідношення (3.8) одержуємо таку формулу для визначення кроку колеса по ділильному колу:

.

Оскільки кроки пропорційні відповідним радіусам, то крок по основному колу

.

Зазначимо, що крок по ділильному колу дорівнює сумі товщини зуба S і ширині западини е по цьому колу:

.

Залежно від товщини зуба по ділильному колу розрізняють три види зубчастих коліс:

• колеса нормальні, або нульові, у яких товщина зуба дорівнює ширині западини:

;

• колеса додатні, у яких товщина зуба більша ширини западини:

, тобто ;

• колеса від’ємні, у яких товщина зуба менша ширини западини:

, тобто .

Зубчаста передача, утворена двома нормальними зубчастими колесами, називається нормальною, або нульовою. У коліс нормальної передачі початкові кола, які в процесі передачі руху перекочуються одне по одному без ковзання, збігаються з ділильними. Тому діаметри цих кіл однакові, тобто , .

Зубчасті колеса додатні та від’ємні називаються коригованими, або колесами зі зміщенням, а передача, у складі якої є кориговане колесо, називається коригованою, або передачею зі зміщення. У коліс коригованої передачі початкові кола можуть не збігатися з ділильником. У такому випадку ; . Діаметр початкового кола можна визначити із рівняння (3.6):

,

де α_W – кут профілю для точки евольвенти, розташованої на початковому колі.

Крок колеса по початковому колу p_W називається кроком зачеплення. Між кроком зачеплення p_W і основним кроком p_b матиме залежність

.

Початкові кола коліс ділять зуб’ї на дві частини: голівку зуба висотою h_a, і ніжку зуба висотою h_f. Для нормальних коліс звичайно приймають і . Отже, висота ніжки зуба більша за висоту голівки зуба. Тому у зубчастій передачі між колом вершин одного колеса і колом западин другого колеса існує радіальний зазор , який забезпечує нормальну роботу передачі. Із наведених співвідношень випливає, що висота зуба

.

Для діаметрів кіл вершин і западин одержимо такі формули:

, (3.10)

. (3.11)

У наведених формулах нижні знаки відносяться до колеса з внутрішніми зуб’ями.

В практиці іноді використовують зубчасті колеса із вкороченою висотою зуба. У таких колесах і .

В залежності від числа зуб’їв Z діаметр основного кола d_b може бути більшим або меншим за діаметром кола западин d_f. При рівності цих діаметрів на основі формул (3.13) і (3.19) одержуємо

,

звідки Z=41,7.

Якщо Z > 41, то d_b < d_f і весь профіль зуба нормального колеса окреслюється евольвентою.

Якщо Z > 41, то d_b < d_f і тільки частина профілю зуба між колом вершин і основним колом окреслюється евольвентою. Ділянка профілю між основним колом і колом западин виходить автоматично при нарізанні колеса і залежить від форми інструменту і способу нарізання. На рисунках профіль зуба на цій ділянці зображають прямою лінією, напрямленою по радіусу, і роблять закруглення (галтель) радіуса 0,38m, з’єднуючи профіль зуба з колом западин.

У колеса а внутрішніми зуб’ями мають місце аналогічні співвідношення. Але при внутрішніх зуб’ях весь профіль зуба має бути окресленим евольвентою. Цій умові задовольняють тільки колеса з числом зуб’їв Z > 33. Тому нормальне колесо з внутрішніми зуб'ями повинно мати не менше 34' зуб'їв.