5. Литература

1. Заварыкин, В.М. Техника вычислений и алгоритмизация / В.М. Заварыкин, В.Г. Житомирский, М.П. Лапчик. – М.: Просвещение, 1987.

2. Заварыкин, В.М. Численные методы: пособие для студентов физико-математических специальностей педагогических институтов. / В.М. Заварыкин, В.Г. Житомирский, М.П. Лапчик. – М.: Просвещение, 1991.

3. Пулькин, С.П. Вычислительная математика / С.П. Пулькин, Л.Н. Никольская, А.С. Дьячков. – МГЗИ, 1980.

4. Андреева, Е. Системы счисления и компьютерная арифметика / Е. Андреева, И. Фалина. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

5. Банди, Б. Основы линейного программирования / Б. Банди. – М.: Радио и связь, 1989.

6. Николаева, И.В. Формализация и моделирование / И.В. Николаева. – Владимир, 2003.

7. Вербжицкий, В.М. Численные методы: линейная алгебра и нелинейные уравнения / В.М. Вербжинский. – М.: Высшая школа, 2000.

8. Вербжицкий, В.М. Численные методы: математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения / В.М. Вербжинский. – М.: Высшая школа, 2001.

9. Турчак, Л.И. Основы численных методов / Л.И. Турчак. – М.: Физматлит, 2002.

10. Ортега, Дж. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Дж. Ортега, У. Пул. – М.: Наука, 1986.

11. Волков, Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. – М.: Наука, 1982.

12. Фаддеев, Д.Л. Вычислительные методы линейной алгебры / Д.Л. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. – М.: Физматгиз, 1960.

13. Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. – М.: Наука, 1966.

14. Демидович, Б.П. Численные методы анализа / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. – М.: Физматгиз, 1962.

15. Мак-Кракен, Д. Численные методы и программирование на Фортране / Д. Мак-Кракен, У. Дорн. – М.: Мир, 1977.

16. Юдин, Д. Б. Линейное программирование (теория, методы и приложения) / Д.Б. Юдин, Е.Г. Гольштейн. – М.: Наука, 1969.

П риближенное решение уравнений с одной переменной. Уточнение корня уравнения методом деления отрезка пополам

Рассмотрим некоторые методы нахождения действительных корней уравнения f(x)=0, расположенных на выбранном отрезке.

6. Мотивационные задачи к введению численных методов решения уравнений с одной переменной

З адача 1. (см. [1], стр. 153) Деревянный шар радиуса R и массы m плавает в ванной с водой. Какова высота части шара, находящаяся под водой? Составим информационную модель.

рис. 1

Начнем с упрощающих предложений. Будем считать, что шар однороден, имеет сферическую форму, поверхность воды – плоскость, плотность воды – ρ.

Исходные данные: R – радиус шара, m – масса шара, ρ – плотность воды. Результат: h – высота подводной части шара.

Соотношения между исходными данными и результатом дает закон Архимеда. Поскольку тело свободно плавает, действующая на него сила тяжести уравновешена выталкивающей силой. Масса шара равна массе воды, вытесненной телом. Масса вытесненной воды равна объему подводной части шара, умноженному на плотность воды. Подсчитаем объем подводной части шара, высота ее равна h.

О бъём V сегмента равен .

П

рис. 2

олучим информационную математическую модель поставленной задачи:

или .

 ρ h³ – ρ R h² + m = 0 (1)

Имеем уравнение f (h) = 0, уравнение третьей степени относительно переменной h. Знаний учащихся недостаточно, чтобы найти h с заданной точностью.

Задача 2. На диаметре полукруга взята точка М (рис. 3), R – радиус круга,

ОМ= k*R, 0 < k <1. Провести через точку М прямую, делящую площадь полукруга в данном отношении m : n.

С оставим информационную модель.

рис. 3

– отношение площади фигуры BМP к площади полукруга. Обозначим λ = . Площадь полукруга S равна . Площадь фигуры BМP зависит от положения точки М.

S_BMP = S_{BOP +} S_MOP = = .

Имеем информационную модель:

= или (2).

Это трансцендентное уравнение, которое нельзя решить методами тригонометрии.

Решение многих практических задач приводит к уравнениям вида (1), (2), так, уравнение Кеплера имеет вид: .

В курсе алгебры изучают некоторые методы решения простейших алгебраических уравнений и трансцендентных уравнений с одной переменной. При этом речь идет об отыскании точных значений корней соответствующих уравнений. Однако в общем случае задача об отыскании точных решений алгебраических уравнений выше четвертой степени и трансцендентных уравнений с одной переменной неразрешима. Во всех таких случаях и, в частности, для решения алгебраических уравнений третьей и четвертой степеней (в силу сложности формул для отыскания корней) приходится обращаться к численным методам, позволяющим отыскать приближенное решение заданного уравнения с наперед заданной точностью.