1. Пояснительная записка

Построение и исследование моделей является мощным орудием познания мира. Модели позволяют в наглядной форме представить объекты и процессы, недоступные для непосредственного восприятия, например, очень большие или очень маленькие объекты, очень быстрые или очень медленные процессы.

Изучая сложные объекты, нельзя учесть все свойства изучаемого объекта, какими-то свойствами надо пренебречь. При этом появляется модель объекта (от латинского modus, modulus – образ, способ, мера).

Модель – это мысленно представимая или материально реализованная система, некоторый объект-заменитель, который в определенных условиях может заменять объект-оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала. У модели имеются существенные преимущества – наглядность, обозримость, доступность при испытаниях. Модель замещает в процессе изучения, принятия решения объект-оригинал, сохраняя те его черты, которые существенны для целей исследования.

Информационная модель – это модель, представляющая объект, процесс или явление набором параметров и связей между ними.

Математическая модель – это информационная модель, в которой параметры и зависимости между ними выражены в математической форме.

Компьютерная модель – это модель, составленная в расчете на исполнителя, имитированного на компьютере. Компьютерная модель – это информационная модель + алгоритм для реализации этой модели. Исходные данные, результат и связи между ними в компьютерной модели представляются в виде, «понятном» компьютерному исполнителю. Примерами исполнителей, имитированных на компьютере, являются: QBasic-система, Pascal-система, Visual Basic-система, Delphi-система, электронные таблицы, математическая система автоматизированного проектирования Mathcad и др.

При составлении информационных моделей для решения задач не всегда удаётся установить точную закономерность между исходными данными (аргументами) и искомым результатом, тогда используют численные методы приближения функции (линейную интерполяцию, интерполяцию по формуле Лагранжа и др.).

Иногда при составлении информационных моделей удается найти точную закономерность между исходными данными и искомым результатом, но для решения полученной задачи не существует точных методов или использование точных методов неэффективно, тогда тоже прибегают к приближенным численным методам решения задачи.

Для решения таких задач, как правило, стремятся найти какой-нибудь бесконечный процесс, сходящийся к искомому решению. Если такой процесс указан, то, выполняя некоторое число шагов и затем обрывая вычисления (их нельзя продолжать бесконечно), мы получим приближенное решение задачи. Эта процедура связана с проведением вычислений по строго определенной системе правил, которая задается характером процесса и называется алгоритмом. Сходимость процесса гарантирует, что для любой заданной точности ε найдется такой номер N, что для всех n ≥ N полученное приближенное решение х_n отличается от точного не более чем на ε, | х_n – x^* | ≤ ε, где x^* – точное решение поставленной задачи. Алгоритмы, использующие бесконечный сходящийся процесс, требуют большого объема необходимых вычислений. Такие алгоритмы называют вычислительными алгоритмами, а основанные на них методы решения – численными методами.

В прикладных задачах значения искомых величин желательно получать количественно, то есть ответ доводить «до числа».

Данный курс посвящен изучению характеристик приближенных значений чисел, особенностей компьютерной арифметики, численных методов решения задач, составлению информационных и компьютерных моделей, проведению вычислительного эксперимента.

Курс состоит из трех разделов (модулей): характеристики приближенных значений чисел, компьютерная арифметика, численные методы. Первые два раздела курса раскрывают значение вопросов точности при применении численных методов и учета особенностей компьютерной арифметики. Третий раздел посвящен рассмотрению численных методов решения практических задач и реализации этих методов с использованием систем программирования и пакетов прикладных программ.

Цель курса – сформировать у учащихся в систематизированной форме понятия о приближенных (численных) методах решения практических задач, методах компьютерного моделирования, источниках ошибок и методах оценки точности результатов, выработать умения правильно выбирать программное обеспечение для решения поставленной задачи. Изучив курс, ученик должен уметь обосновать выбор численного метода и видеть пути оценки точности вычислений, владеть алгоритмом используемого метода и уметь реализовывать этот метод в виде программы на одном из языков программирования, иметь навыки практического использования программного обеспечения компьютера, например, MS Excel, Mathcad.

Задачи курса:

1. Общее развитие и становление мировоззрения учащихся. Содержание курса, методы реализации этого содержания выполняют развивающую функцию, учащиеся продолжают работать с методом познания окружающей действительности – методом компьютерного моделирования, используют полученные знания о компьютерной арифметике.

2. Содействие профессиональной ориентации учащихся. Реализация данного курса способствует выявлению тех учащихся, кто склонен к исследовательской деятельности: проведению вычислительного эксперимента, работе над проектами.

3. Развитие и профессионализация навыков работы с компьютером. Перед учащимися ставится задача реализовать алгоритм численного решения задачи на компьютере, в наглядной, доступной форме отобразить полученные результаты, провести вычислительный эксперимент численного решения задачи с использованием электронных таблиц MS Excel и математической системы автоматизированного проектирования Mathcad, что способствует более полному изучению возможностей программного обеспечения компьютера, а при оценке точности – возможности компьютера как вычислителя.

Предлагаемый курс включает следующие содержательные линии:

1. Представление информации. Представление числовой информации в компьютере, арифметические операции над числами, источники погрешностей при работе с числами на компьютере.

2. Формализация и моделирование. На примерах решения практических задач обучаемый участвует в реализации всех этапов компьютерного моделирования, начиная с исследования моделируемой предметной области и постановки задач до интерпретации результатов, полученных в ходе компьютерного эксперимента. Курс предполагает формирование навыков компьютерного моделирования. Он включает компьютерные лабораторные работы по реализации составленных обучаемыми или предложенных учителем программ численных методов решения задач, проведение вычислительного эксперимента.

3. Алгоритмизация и программирование. При изучении численных методов решения задач обучаемый составляет алгоритм и программу на одном из языков программирования для реализации этого метода на компьютере.

4. Информационные технологии. При изучении численных методов учащиеся имеют возможность провести численный эксперимент с использованием электронных таблиц и математической системы автоматизированного проектирования Mathcad: подобрать соответствующие параметры, проанализировать зависимости, спрогнозировать результаты, провести графическую интерпретацию получаемых результатов.

На практических и лабораторных работах ученики преобразуют теоретические идеи в практическую вычислительную процедуру, разрабатывают алгоритмы решения задач и кодируют их в программы, предназначенные для реализации на компьютере, а также используют готовые программы, встроенные в MS Excel и Mathcad для проведения вычислительного эксперимента при решении некоторых задач. Ученики получают практический опыт в описаниях вычислительных алгоритмов решения практических задач на одном из языков программирования, что ведет к более глубокому пониманию сущности численных методов и их практической ценности, ориентирует на грамотное использование прикладного программного обеспечения компьютера, обогащает учащихся новыми способами решения задач.

В настоящее время для ПК разработаны эффективные пакеты программ для численного решения задач, тем не менее, понимание возможностей реализации теоретических идей в программный продукт является составной частью образования в школе.

Изучение курса должно способствовать формированию у ученика определённого стиля мышления, характерной чертой которого является умение выбирать те или иные языковые средства, тот или иной программный инструмент для реализации стоящей перед ним задачи, достижения поставленной цели, умения оценивать точность полученного результата.

Преподавание курса опирается на знания и умения, полученные учащимися на занятиях по дисциплинам «Алгебра», «Физика», «Информатика» и др.