Границя послідовності
Відображення
множини натуральних чисел у множину
дійсних чисел називається числовою
послідовністю, тобто
.
Вживають також позначення:
– називають членом
послідовності, а
- номером цього члена. Послідовність
називається обмеженою, якщо множина
обмежена. Тобто
таке, що для
Послідовність
необмежена, якщо множина
необмежена, або
.
Означення (границі послідовності за Коші)
Число
називається границею послідовності
,
якщо для
таке, що для
Записують
або
при
.
З
геометричної точки зору це означає, що
довільний
-окіл
точки
містить безліч членів послідовності,
а зовні цього околу лежить хіба що
скінченне число членів послідовності.
Послідовність, яка має скінченну границю називається збіжною, і розбіжною в протилежному випадку.
Означення (фундаментальної послідовності).
Послідовність
називається фундаментальною, якщо для
таке, що
і
виконується нерівність
.
Теорема. (Критерій Коші збіжності послідовності).
Для того, щоб послідовність була збіжною необхідно і достатньо, щоб вона була фундаментальною.
Зауваження
При розв’язанні наступних задач часто
буде використовуватися поняття цілої
частини числа
,
позначається
– найбільше ціле число, яке не перевищує
.
Приклад1.
Користуючись означенням границі
послідовності за Коші довести, що
Виберемо
довільне
і розглянемо модуль різниці між
-им
членом послідовності і числом
Згідно
з означенням границі послідовності ми
повинні вказати номер
(залежний від
)
такий, що
виконується нерівність
Для
того, щоб вказати номер
досить взяти цілу частину числа
тобто
.
Дійсно, якщо
,
то
Таким
чином, для довільного
існує номер
такий, що для всіх номерів
виконується нерівність
Приклад
2. Користуючись критерієм Коші довести
збіжність послідовності
,
де
.
Згідно з критерієм
Коші збіжності послідовності досить
показати, що послідовність є фундаментальною.
Оцінимо
Оскільки
, то
=
Таким
чином для довільних
маємо
.
Виберемо
довільне
і за
виберемо цілу частину числа
, тобто
. Тоді для всіх
маємо
.
Отже для довільного
і довільного
виконується нерівність
.
Приклад
3.Користуючись критерієм Коші довести,
що послідовності
,
де
є розбіжною.
Доведемо, що послідовність не є фундаментальною.
Розглянемо
(кожен з доданків оцінено найменшим за
величиною останнім доданком).
Покладемо
(
)
, тоді
, для
Остання
оцінка показує, що при
яке б не було
,
для всіх
і довільного натурального числа
(візьмемо p=n) виконується нерівність
тобто послідовність
не є фундаментальною, а отже є розбіжною.
Послідовність
називається нескінченно малою (НМ), якщо
.
Послідовність
називається нескінченно великою (НВ),
якщо для
такий, що для всіх
виконується
і записують
При розв’язуванні задач використовуються наступні властивості НМ, НВ, а також збіжних послідовностей:
Алгебраїчна сума скінченного числа НМ послідовностей є НМ послідовність
Добутком НМ послідовності на обмежену послідовність є НМ послідовність
Якщо НВ (НМ) послідовність
,
то послідовність
є НМ(НВ) послідовністю. Зокрема
тощоЯкщо і
,то
А)
Б)
В)якщо
,
і
.
Приведемо також три теореми.
Теорема
1(про проміжну послідовність). Якщо
і, починаючи з певного номера виконується
нерівність
тоді
Теорема
(Штольца) Якщо послідовності
і
задовольняють
умовам:
при
(причому
може дорівнювати
).
Тоді
Теорема(друга важлива границя)
– це деяке число,
яке наближено дорівнює
Приклад
5 . Обчислити
.
Послідовність
обмежена,
а оскільки
тому
Приклад
6. Обчислити
,
де
Запишемо
оцінку
Оскільки
,
то згідно з теоремою про проміжну
послідовність
Приклад
7. Обчислити
Застосуємо
теорему Штольца, зауваживши, що
монотонно зростає для
і
.
При цьому
і
За теоремою Штольца
,
отже
Приклад
8. Обчислити
Оскільки
-фіксоване,
то
таке, що
.
Розглянемо послідовність
і застосуємо для неї нерівність Бернуллі.
Звідси
Тоді
Розглянемо
довільне
.
Розв’яжемо нерівність
відносно
.
Одержимо
.
Таким чином, для довільного
таке, що для
.
За означенням границі послідовності
це означає, що
Приклад
9. Обчислити
Для
фіксованого
таке, що
.
Тоді
Звідси одержуємо, що
де
і
– фіксовані числа. Як показано в прикладі
7,
Відповідь:
Приклад
10. Обчислити
Розглянемо довільне
Нерівність
еквівалетна нерівності
Позначимо
.
Як показано в прикладі 8,
таке, що для
отже
Відповідь:
Приклад
11. Обчислити
Розглянемо
n чисел:
Запишемо для них нерівність Коші
Звідси одержимо, що
Оскільки
,
то, використавши теорему про проміжну
послідовність, з нерівності
одержимо,
що
Завдання 1
Користуючись
означенням границы послідовності за
Коші довести, що
Завдання 2
Користуючись
критерієм Коші збіжності послідовності,
довести збіжність наступних послідовностей
, або користуючись запереченням критерію
Коші збіжності послідовності, довести
розбіжність послідовності
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
,
де
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
exp((
n)
23.
24.
25.
26.
27.
28. sin(n)
29. cos(n)
30. tg(n)
Завдання 3
Знайти границю:
Завдання 4
Знайти границі:
Завдання 5
Знайти границі:
Завдання 6
Знайти границю:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.З
.
.
.
.
.
.
.
.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Завдання 7
Знайти границі:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Завдання 8
Знайти границю:
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
;
;
;
;
;
;;
;
;
;
;
;
.