3. Біном Ньютона

Факторіалом натурального числа називається добуток

За означенням приймають, що

Теорема 1. Кількість усіх -елементних підмножин множини з елементів (кількість комбінацій з елементів по ), яка позначається , дорівнює

Теорема 2 (біном Ньютона). Для будь-яких дійсних чисел і та для довільного натурального числа

Зауважимо, що також

Числа називаються біноміальними коефіцієнтами.

Властивості біноміальних коефіцієнтів:

1. 

2. 

Друга властивість дозволяє записати біноміальні коефіцієнти у вигляді так званого трикутника Паскаля, де в -ому рядку стоять коефіцієнти розкладу . Кожний коефіцієнт за винятком крайніх, які рівні одиниці, дорівнює сумі коефіцієнтів над ним з попереднього рядка.

Приклад 1. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

Останнє рівняння має два розв’язки, а саме та Проте розв’язок є стороннім.

Відповідь:

Приклад 2. Довести, що

Доведення.

Приклад 3. Довести, що

Доведення.

Завдання 1

1. Розв’язати рівняння

2. Знайти член розкладу

що не містить

3. Знайти член розкладу

що не містить

4. Розв’язати рівняння

5. Знайти члени розкладу

які є цілими числами.

6. Знайти члени розкладу

які є цілими числами.

7. Довести, що при та при .

8. Скільки раціональних членів містить розклад

9. Знайти число , якщо відомо, що в розкладі коефіцієнти при та рівні.

10. Довести, що

11. Довести, що

12. Розв’язати рівняння

13. Розв’язати рівняння

14. Довести, що при довільному натуральному сума

є точним квадратом.

15. Розв’язати рівняння

16. Розв’язати рівняння

17. Довести, що

18. Розв’язати рівняння

19. Знайти кількість раціональних членів в розкладі

не виписуючи ірраціональних членів.

20. Розв’язати рівняння

21. Розв’язати рівняння

22. Довести, що

23. Розв’язати рівняння

24. Довести, що

25. Знайти член розкладу

який містить у першому степені, якщо сума всіх біноміальних коефіцієнтів дорівнює 512.

26. Довести, що

27. Довести, що

28. Довести, що

29. Обчислити

30. Обчислити

4. Точні верхня і нижня межі числових множин

Розглянемо числову множину . Якщо існує таке, що для будь-якого має місце нерівність , то множина називається обмеженою зверху, а число - верхнею межею множини . Аналогічно, якщо таке, що для будь-якого має місце нерівність , то множина називається обмеженою знизу, а число - нижня межа множини .

Число , яке є найменшим серед усіх верхніх меж множини , називається точною верхнею межею множини . Число , яке є найбільшим серед усіх нижніх меж множини , називається точною нижнею межею множини .

Теорема (Про існування точних меж) Непорожня обмежена зверху(знизу) множина дійсних чисел має точну верхню (нижню) межу.

Теорема (Критерій існування точних меж) Число тоді і тільки тоді, коли:

1. є верхня межа , тобто

2. для довільного числа існує таке, що .

Для того, щоб число необхідно і достатньо, щоб:

1) є нижня межа , тобто

2)для довільного числа існує таке, що .

Приклад 1. Знайти точні межі множини

Зауважимо, що для справедлива нерівність

Тобто . З іншої сторони, для

Таким чином множина обмежена знизу числом , яке співпадає з і необмежена зверху, тобто

Приклад 2. Знайти точні межі множини

Для всіх парних значень справджуються оцінки

Таким чином можна стверджувати, що множина необмежена зверху, отже

Для всіх непарних виконується нерівність

Покажемо, що число . Згідно з критерієм існування точної нижньої межі для цього досить показати, що . Дійсно, замість можна взятии довільний елемент множини з непарним номером і такий, що і . Знайдемо k^

Таким чином

Завдання 1

Знайти точні межі множини

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30.