Відношення та функції
Нехай
— дві непорожні множини із універсальної
множини
.
Відношенням
між елементами множин
і
називається будь-яка підмножина
множини
.
Якщо впорядкована пара
є елементом
(тобто
),
то кажуть, що
та
знаходяться у відношенні
,
і часто позначають це
.
Якщо
,
то відношення
називається відношенням на
.
Приклад.
Відношення
:
є відношенням на множині натуральних чисел.
Нехай
— відношення між елементами множин
і
.
Областю визначення відношення називається множина перших елементів пар, що входять в дане відношення
Областю значень відношення називається множина других елементів пар, що входять в дане відношення
Приклад.
Для віношення
на множині натуральних чисел
,
оскільки для довільного натурального
числа
можна вказати більше натуральне число,
наприклад
.
А
оскільки для довільного натурального
числа
,
за винятком 1, можна вказати менше
натуральне число.
Відношення
між елементами множин
і
називається функцією з
в
,
якщо
,
а для кожного першого елемента пари
відношеня існує єдиний другий елемент.
Тобто для всіх
і
з
та
випливає, що
Функція
із
в
позначається символом
.
При цьому замість
пишемо
і називаємо
значенням функції
при значенні аргумента
.
Функцію
також називають відображенням множини
в множину
і значення
називають образом елемента
при відображенні
.
При цьому пишуть
Якщо
функція з
в
,
то множину
називають областю визначення функції
і позначають
,
а множину
називають областю значень функції
і позначають
.
В елекментарній математиці функцією називають закон відповідності між елементами множин і , що ставить у відповідність кожному елементу множини рівно один елемент множини .
Дві
функції
та
називаються рівними, якщо
і для всіх
Індикатори множин
Нехай
— універсальна множина. Для довільної
множини
визначимо функцію
правилом:
Функція
називається індикатором множини
.
Зауважимо, що
Для індикаторів множин справедливі наступні властивості:
Властивості 1-8 використовуються для доведення різноманітних тотожностей між множинами.
Приклад
1. Множина А складається з елементів
,
де
,
множина
— із елементів
.
Знайти
.
Розв’язання.
Нехай
— спільний елемент множин
і
.
Тоді справедлива рівність
,
де
.
Звідки маємо
отже
має ділитися на 3 без остачі. Позначивши
різницю
через к, маємо
Звідки
Отже
Приклад 2. Довести рівність (перший закон двоїстості).
Розв’язання.
І
спосіб. Доведемо, що кожний елемент
лівої частини рівності є елементом
правої. Для довільного
маємо
Отже
.
З
іншого боку, для довільного
маємо
Отже
.
З
отриманих двох включень випливає, що
ІІ спосіб. Доведемо рівність методом індикаторів. Для цього встановимо тотожність індикаторів лівої та правої частин. Маємо
Праві частини рівностей однакові, отож
тобто
Приклад 3. Довести рівність множин
Розв’язання.
І спосіб. Обчислимо індикатори лівої та правої частин рівності (аргументи для скорочення записів не пишемо):
в
силу рівності
.
Праві частини двох останніх рівностей однакові, отже
тобто
ІІ
спосіб. Скористаємось відомими фактами
алгебри множин. Маємо
,
отже
(другий
закон двоїстості) =
=
(дистрибутивний закон) =
Завдання 1
Задати наступні множини через їх елементи:
Знайти перетин множин :
Завдання 2
Довести рівності між множинами двома способами: методом двох включень та методом індикаторів:
