2. Формула Бернулли.

Схема Бернулли: серия повторных независимых испытаний, в каждом из которых данное событие А имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания. И для каждого испытания имеются только два исхода:

1. событие А – успех;

2. событие - неуспех,

с постоянными вероятностями

Рассмотрим в условиях схемы Бернулли определение вероятности - это вероятность того, что при n испытаниях событие А, имеющее одну и ту же вероятность для каждого отдельного испытания, появится ровно m раз.

Вероятность того, что событие А появится ровно m раз в n испытаниях: находится по формуле Бернулли

(3)

Пример 5: Найти вероятность того, что при десятикратном подбрасывании монеты герб выпадет ровно 5 раз.

Решение.

Событие А –выпадение герба при одном подбрасывании монеты, его вероятность равна .

Получили следующие данные:  число испытаний ;

• ;

• 

• 

Теперь найдем вероятность выпадения герба при десятикратном подбрасывании монеты, по формуле Бернулли (3), получим:

Ответ: вероятность того, что при десятикратном подбрасывании монеты герб выпадет пять раз, равна 0,25.

3. Частные случаи применения формулыБернулли.

Вероятность того, что в п опытах схемы Бернулли событие А появится от т₁до т₂раз ( ) обозначим через , она находится по следующей формуле:

(4)

Рассмотрим частные случаи применения этой формулы:

1. Вероятность , того что в п опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой:

(5)

2. Вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит: а) менее т раз; b) более т раз; с) не менее т раз; d) не более т раз, находят соответственно по следующим формулам:

(6)

Пример 6. Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы один раз.

Решение.

Событие А – выпадение герба при одном подбрасывании монеты, его вероятность равна , т.е.

а) найдём вероятность это вероятность выпадения герба от 4 до 6 раз, т.е. п=10, т₁=4 и т₂=6 её вычислим по формуле (4) для вероятности :

б) найдём вероятность того, что герб выпадет хотя бы один раз, т.е. по формуле (5):

Ответ: вероятность того, что герб выпадет от 4 до6 раз, равна 0,66 и вероятность того, что герб выпадет хотя бы один раз равна 0,99.

Пример 7. Всхожесть семян данного растения равна 90%. Найти вероятность того, что из четырёх посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трёх.

Решение:искомые вероятности найдём с помощью теоремы Бернулли.

а) событие А – посеянное семя взойдёт,

получили п=4, т=3, , подставим в формулу Бернулли (3):

б) Вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит не менее т раз, находится по следующей формуле (6):

в этом случае событие А состоит в том, что из четырёх семян взойдут три или четыре, значит формула для вычисления вероятности этого события следующая:

Ответ:вероятность, что из четырёх посеянных семян взойдут три, равна 0,29, а вероятность, что из четырёх взойдут не менее трёх, 0,95.

4. Формула Пуассона.

Пусть производится серия из п независимых испытаний (п = 1,2,3,…), в каждом из которых может появится событие А с вероятностью р или событие с вероятностью . Требуется найти вероятность - это вероятность того, что в п испытаниях событие А появится т раз, определяется формулой Бернулли.

Рассмотрим случай, когда п – достаточно большое, а р – достаточно малое (т.е. имеем дело с последовательностью “редких событий”), в этом случае вместо сложной формулы Бернулли используют приближённую формулу Пуассона.

Для этого вводится новый параметр: (число), тогда формула Пуассона для вычисления вероятности будет выглядеть следующим образом:

(7)

где , экспонента.

Пример 8. На факультете обучается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 апреля является днём рождения одновременно для 2 студентов данного факультета.

Решение: по условию задачи п = 500, количество студентов факультета, т.е. число испытаний.

Событие А – у наугад выбранного студента день рождения 1 января, найдём вероятность этого события, для него п_А = 365 – количество дней в году, а т_А = 1 – т.к. первое января бывает один раз в год, поэтому получим:

Используя формулу Пуассона (7) найдём искомую вероятность, сначала определим параметр а:

Теперь найдём вероятность того, что из 500 студентов день рождения 1 января будут у двоих, т.е.

Ответ: вероятность того, что у двоих студентов факультета день рождения будет 1 января, из 500 человек, равна 0,238.