3. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Формула Бернулли, Пуассона и приближенные формулы Лапласа.

1. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

В некоторых задачах имеется дополнительная неопределённость, которая не позволяет непосредственно определить искомую вероятность. Формула полной вероятности и формула Байеса применяются при решении одного класса таких задач.

Рассмотрим п попарно не совместных событий , которые составляют полнуюгруппу попарно несовместных событий, их называют гипотезами. При этом известны вероятности гипотез и выполняется условие .

Рассмотрим событие А, которое может произойти в результате появления хотя бы одной из гипотез , причём, известны условные вероятности . В данных условиях задачи возможно нахождение:

1. Вероятности события А - P(A) – формула полной вероятности

(1)

2. Условные вероятности гипотез относительно события А - – формула Байеса

(2)

Пример 1. В магазин поступила продукция с трех предприятий в следующем соотношении: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия. При этом 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 25% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная продукция окажется высшего сорта.

Решение.Пусть А событие, заключающееся в том, что будет случайно купленная продукция высшего сорта, обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Для нахождения вероятности события А можно применить формулу полной вероятности, для этого найдем:

1. вероятности гипотез , т.е. это вероятности того, что случайно купленная продукция будет изготовлена соответственно на первом, втором и третьем предприятии

_{Сумма вероятностей гипотез должна равняться 1, проверим}

2. Теперь найдем условные вероятности события А - это вероятность того, что случайно приобретенное изделие высшего сорта изготовлено соответственно на первом, втором или третьем предприятии

Подставляя эти значения в формулу для полной вероятности (1), получим искомую вероятность события А:

Ответ. Вероятность того, что случайно приобретенная продукция окажется высшего сорта равна 0,16.

Пример 2. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 4 белых и 4 синих шара, во второй – 3 белых и 5 синих, в третьей – 8 синих шаров. Из случайно выбранной урны наугад вынули шар. Найти вероятность того, что он белый.

Решение. Пусть гипотезы Н₁, Н₂иН₃ это выбор урны с номером соответственно 1, 2 или 3. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то вероятности гипотез

Теперь найдем условные вероятности события А - это вероятность того, что из случайно выбранной урны вынули белый шар

Подставляя эти значения в формулу для полной вероятности (1), получим искомую вероятность события А:

Ответ. Вероятность того, что из случайно выбранной урны извлечен белый шар равна 0,29.

Пример 3. В группе 20 студентов, в том числе 5 отличников, 9 хорошо успевающих и 6 занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только «отлично». Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью «хорошо» и «отлично». Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью «хорошо», «удовлетворительно» и «неудовлетворительно».Для сдачи экзамена наугад приглашают одного студента, он получил оценку «хорошо» или «отлично» (событие А). Найти вероятность того что данный студент был хорошо успевающим.

Решение. Обозначим события, заключающиеся в том, что наугад приглашенный студент был соответственно отличник, хорошо успевающий и занимающийся слабо.

Сначала найдем вероятность события А можно по формуле полной вероятности, для этого найдем:

1. вероятности гипотез

_{Сумма вероятностей гипотез должна равняться 1, проверим}

2. Теперь найдем условные вероятности события А -

Подставляя эти значения в формулу для полной вероятности (1), получим вероятность события А:

_{Теперь используя формулу Байеса (2) найдем вероятность того, что случайно приглашенный студент сдавший экзамен на «отлично» или «хорошо» был из занимающихся хорошо:}

Ответ. Вероятность того, что случайной приглашенный студент, сдавший экзамен на «отлично» или «хорошо» был из занимающихся слабо равна 0,56.

Пример 4. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,8 и 0,6, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Пусть событиеА– одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы:

Н₁– первый стрелок попал, а второй промахнулся,

Н₂– первый стрелок промахнулся, а второй попал,

Н₃– оба стрелка попали,

Н₄– оба стрелка промахнулись.

Найдем вероятности гипотез:

Теперь найдем условные вероятности события А

Подставляя эти значения в формулу для полной вероятности (1), получим вероятность события А:

_{Теперь используя формулу Байеса (2) найдем вероятность того, что по мишени попал первый стрелок:}

Ответ. Вероятность того, что после двух выстрелов двух стрелков попал первый стрелок равна 0,59.