Действия над событиями

1. Под суммойдвух событий А и В понимается событие , которое имеет место тогда и только тогда, когда произошло хотя бы одно из событий А и В.

2. В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий, сумму n событий обозначают

(1)

Например:

• Событие А – выигрыш по 1-му лотерейному билету, событие В – выигрыш по 2-му лотерейному билету, тогда событие А+В – выигрыш хотя бы по одному лотерейному билету (или по двум сразу).

• В магазине, торгующем микроволновыми печами и соковыжималками, в течении пяти минут может быть куплена микроволновая печь (событие А) или соковыжималка (событие В), тогда событие С=А+В – в течении пяти минут куплена микроволновая печь либо соковыжималка, либо то и другое вместе.

3. Под произведениемдвух событий А и В называется событие , состоящее в одновременном их появлении.

4. В общем случае под произведением нескольких событий понимают событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий, произведение n событий обозначают:

(2)

Например: Событие А и В – успешное прохождение туров 1 и 2 при поступлении в институт, тогда АВ – успешное прохождение обоих туров.

Замечание Если события А и В несовместны, то их произведение есть событие невозможное: , где 0 – невозможное событие

Пример 1: Опыт – извлечение шаров из ящика, в котором находятся шары трёх цветов. Рассмотрим события: А – «извлечен белый шар», В – «извлечен серый шар», С – «извлечен черный шар». Что представляют собой следующие события: ?

Решение

А+В – белый или серый шар;

- серый шар, поскольку А+С – белый или черный шар;

АС – невозможное событие, поскольку шар одновременно не может быть белым и черным;

АВ+С – черный шар

Пример 2: Опыт – подбрасывание игрального кубика. Рассмотрим события: А – «выпадение шести очков», В – «выпадение трех очков», С – «выпадение четного числа очков», D – «выпадение числа очков, кратного трем». Что представляют собой следующие события: ?

Решение

А+В=D – выпадение шести очков (А) или выпадения трех очков (В) это событие D – выпадения числа очков кратного трем.

СD = А – выпадение четного числа очков (С) и выпадения числа очков, кратного трем (D) – это и есть выпадение шести очков (А).

Пример 3: Опыт – производится 3 выстрела по мишени. Событие А₁ – попадание в мишень при первом выстреле, А₂ – попадание в мишень при втором выстреле,А₃ – попадание в мишень при третьем выстреле. Выразить через А₁ ,А₂и А₃ следующие события: А – «хотя бы одно попадание», B – «три попадания», C – «три раза не попал»,D– «хотя бы один раз не попал», E – «не менее двух попаданий», F – «не более одного попадания»,G – «попадание после первого выстрела».

Решение.

Рассмотрим событие А - оно наступает тогда когда наступают А₁ или А₂или А₃, значит по определению суммы нескольких событий .

Рассмотрим событие B – три попадания будут тогда и только тогда когда будет попадание при каждом из трех выстрелов, т.е. события произойдут все вместе одновременно, т.е. по определению произведения нескольких событий .

Рассмотрим событие C – три раза не попасть при каждом из 3 выстрелов, т.е. события произойдут одновременно, т.е. .

Рассуждая аналогичным образом, получим следующие выражения для событий: