Элементы комбинаторики

Для вычислений числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа элементарных исходов необходимы методы расчета количества вариантов и комбинаций объектов из некоторых заданных объектов. Такие задачи решаются с помощью комбинаторики.

Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных элементов.

Число решений большинства комбинаторных задач можно подсчитать с помощью "правила суммы" и "правила умножения".

1. Правило суммы: если выбор каждого из объектов можно выполнить способами, то выбор можно произвести

(1)

способами.

Пример 1:Пусть из пункта А в пункт В можно добраться самолётом, поездом и автобусом, причём между этими пунктами существует 2 - авиамаршрута, 1 - железнодорожный и 3 - автобусных. Сколькими способами можно добраться из пункта А в пункт В.

Решение:пусть а₁- самолёт, а₂ -поезд и а₃ - автобус, тогда п₁=2, п₂=1 и п₃=3 тогда воспользуемся формулой (1):

Ответ: 6 способами можно добраться из пункта А в пункт В

Пример 2. В отделе фирмы работают пять бухгалтеров расчетной группы, шесть программистов и десять менеджеров. Для дежурства в праздничный день руководителю отдела надо выделить одного сотрудника. Сколько способов существует у руководителя отдела?

Решение:пусть а₁-выбранный сотрудник бухгалтер, а₂ -программист и а₃ - менеджер, при этом количество способов выбора сотрудника в соответствии с должностью следующиеп₁=5, п₂=6 и п₃=10 тогда воспользуемся формулой (1):

Ответ:21 различный способ выбрать сотрудника для работы в праздничный день у начальника отдела.

2. Правило умножения: если выбор каждого из объектов можно выполнить способами, то выбор можно произвести

(2)

способами.

Пример 3:В некотором садоводческом хозяйстве имеется 14 сортовяблонь, 17 сортов груш и 13 видов вишневых деревьев. Сколькими способами можно выбрать по одному сорту каждого типа фруктовых деревьев?

Решение: пусть а₁- яблони, а₂ - груши, а₃– вишня, тогда п₁=14, п₂=17и п₃=13, воспользуемся формулой (2):

Ответ: 3094 способами можно выбрать по одному сорту каждого типа.

Пример 4:Начальник службы безопасности коммерческой организации должен ежедневно расставлять 7 охранников по 7 постам. В целях усиления безопасности одна и та же комбинация расстановки охранников по постам не может повторяться чаще одного раза в месяц.Для оценки такой возможности, найдите число различных комбинаций расстановки охранников.

Решение:на первый пост начальник службы безопасности может назначить любого из п₁=7 охранников, на второй пост – любого из оставшихся п₂=6 охранников и так до седьмого шестого, на который можно назначить любого из оставшихся п₆=2 охранников, при этом оставшийся п₇=1 охранник будет назначен на 7 пост. Теперь согласно правилу умножению общее количество комбинаций:

Ответ: 5040комбинаций расстановки охранников по постам и поскольку количество дней в месяце не превышает 31, у начальника службы безопасности заведомо существует достаточное число способов расстановки своих подчиненных по постам.

При решении комбинаторных задач имеем дело с комбинациями из некоторых предметов. Эти комбинации могут отличаться одна от другой числом предметов, их составом или порядком.

Пусть дано множество, состоящее из п различных элементов.

3. Размещения. Размещением из п элементов по k элементов называется упорядоченное подмножество, содержащее kразличных элементов данного множества. Все эти подмножества отличаются друг от друга или составом элементов, или порядком их распределения.

- число всех размещений из п элементов по k

(3)

п! - п факториал - это произведение натуральных чисел от 1 до п, при этом 0!=1.

Пример 5: В соревнованиях принимает участие 10 команд. Сколькими способами можно распределить три первых места.

Решение: п=10, т=3 и имеем дело с размещением, так как от порядка команд подмножества будут иметь различный смысл (т.е. команде не всё равно какое место она займёт), воспользуемся формулой (3):

Ответ:720 способами можно распределить три первых места, если имеется 10 команд.

Пример 6:Сколько существует различных вариантов выбора четырех кандидатур из девяти специалистов для поездки в четыре различные страны?

Решение: п=9, т=4 и имеем дело с размещением, так как от страны поездки подмножества будут иметь различный смысл (т.е. специалисту не все равно в какую страну его выберут для поездки), воспользуемся формулой (3):

Ответ:3024 способами можно распределить четырех специалистов из 9 для поездки в четыре разные страны.

Пример 7:Преступник подбирает шифр к сейфу и у него есть 2 часа. Успеет ли он, если шифр состоит из четырех цифр, и комбинации, составленные из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 различаются только расположением цифр или самими цифрами, так же известно, что в шифре нет цифр 2 и 6?

Решение: п=10-2=8, т=4 и имеем дело с размещением и воспользуемся формулой (3):

Если предположить, что на подбор одной комбинации будет уходить 5 секунд, то на подбор 1680 комбинаций уйдет

Ответ: преступнику может не хватить 2 часов или 120 минут, чтобы подобрать шифр и открыть сейф

4. Перестановки. Перестановкой из п элементов называется размещение из п элементов по п элементов, или это всякий способ нумерации этих элементов.

- число всех перестановок из п элементов.

(4)

Пример 8:Восемь лабораторных животных надо проранжировать в соответствии с их способностями выполнять определённые задания. Каково число возможных ранжировок, если допустить, что одинаковых способностей нет?

Решение:в данной задаче имеем дело с перестановками из 8 элементов, значит воспользуемся формулой (4)

Ответ: 40320 ранжировок или упорядочений можно составить из 8 животных.

Пример 9 Сколькими способами можно составить очередь из пяти человек?

Решение:в данной задаче имеем дело с перестановками из 5 элементов, значит воспользуемся формулой (4)

Ответ:120 способов для составления очереди из 5 человек.

6. Перестановки с повторяющимися элементами. Если среди п элементов имеется п₁ одинаковых элементов одного типа, п₂ одинаковых элементов другого типа и т.д., то при перестановке этих элементов всевозможными способами получаем комбинации, количество которых определяется по формуле:

(5)

Пример 10 Сколько различных шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 3,3,3,5,5,5?

Решение:в данной задаче имеем дело с перестановками из 6 элементов с повторениями, значит воспользуемся формулой (5) при этом k=2, п₁=3, п₂=3, п=6

Ответ: 20 шестизначных чисел можно записать с помощью цифр 3,3,3,5,5,5.

Пример 11 Сколькими способами можно переставить буквы в слове «ротор», чтобы получить все возможные различные наборы букв?

Решение:в слове «ротор» пять букв, при этом буквы «р» и «о» повторяются по два раза, а буква «т» - одна, поэтому имеем дело с перестановками из 5 элементов с повторениями, значит воспользуемся формулой (5) при этом k=3, п₁=2, п₂=2, п₃=1, п=5

Ответ:30 способов.

7. Сочетания. Сочетанием из п элементов по т элементов называется любое подмножество, которое содержит т различных элементов данного множества. Эти подмножества считаются различными, если они отличаются составом элементов.

- число всех различных сочетаний из п элементов по т элементов.

(6)

Пример 12:Для эксперимента по определению скорости роста требуется выбрать четыре штамма бактерий из имеющихся восьми. Сколькими способами можно это сделать?

Решение:так как надо выбрать четыре объекта вне зависимости от порядка, то в соответствии с формулой (6) находим

Ответ:70 способами можно выбрать четыре штамма бактерий из имеющихся восьми.

Пример 13:Сколькими способами можно выбрать 2 лица на две одинаковые должности из десяти кандидатов?

Решение:так как надо выбрать 2 объекта вне зависимости от порядка, то в соответствии с формулой (6) находим

Ответ:840 способами можно выбрать двух кандидатов на две одинаковые должности из десяти кандидатов.

Действия над событиями. Классическое определение вероятности. Теорема сложения и умножения вероятностей.