Дифференциал функции многих переменных.

Функция u=f(x,y,z) называется дифференцируемой в точке (x,y,z), если полное приращение функции в этой точке имеет вид

u =Aх+Ву+Сz+ х+у+γΔz (6)

где А,В,С - const, ,,γ→0 при х, у, z→0

Дифференциалом функции u=f(x,y,z) в точке (x,y,z) называется главная часть приращения функции.

(7)

Теорема. Если существуют частные производные в окрестности точки (x,y,z), которые непрерывны в самой точке (x,y,z), то функция дифференцируема в этой точке, причем: . Тогда .

Если существует функция, дифференцируемая в любой точке множества М, то на этом множестве дифференциал будет функцией от аргументов x,y,z и примет вид

(8)

где dx, dy, dz – дифференциалы аргументов.

Пример 5. Найти полный дифференциал функций

а) , б)

Решение

а) найдём частные производные функции

, подставим в формулу (8)

б) найдём частные производные функции

подставим в формулу (8)

Частные производные высших порядков.

Рассмотрим функцию u=f(x) на множестве .

Пусть на множестве М существуют частные производные , которые есть функция аргументов х и у.

Найдем частные производные от этих частных производных это будут производные 2-го порядка.

1. , (9)

2. , (10)

Пример 6. Найти частные производные второго порядка функции:

Решение

, тогда

Замечаем, что . Производные по разным аргументам называются смешанными.

Для функции трех и более переменных можно определить частные производные высших порядков. Например. т.д.

Пример 7. Для функции найти

Решение

.

Интегральное исчисление.

Первообразная. Неопределенный интеграл.

Пример 1

1) для первообразная , т.к.

2) для первообразная , т.к. .

Основные свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от интеграла равна подынтегральной функции.

(1)

2. Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению:

(2)

3. Рассмотрим интеграл и преобразуем под интегральное выражение.

т.е. интеграл от дифференциала есть первообразная.

4. Постоянный множитель можно вывести за знак интеграла.

5. Интеграл от суммы равен сумме интегралов.

6. Свойство инвариантности формулы интегрирования – это свойство сохранения формы результата интегрирования независимо от того , что является переменной интегрирования – независимая переменная х или функция U(x), т.е. если , то

(3)

Таблица интегралов.

Исходя из определения неопределенного интеграла и зная формулы производных, можно записать таблицу неопределенных интегралов.

1. 

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

Методы интегрирования

При нахождении неопределённого интеграла используют:

1. некоторые свойства неопределённого интеграла;

2. набор табличных интегралов;

3. основные методы и приёмы интегрирования, которые направлены на преобразование подынтегрального выражения таким образом, чтобы привести данный интеграл к табличному.

Рассмотрим основные приёмы и методы интегрирования.