Аналитическая геометрия на плоскости.

Пример 1. Даны вершины треугольника АВС: А(-4,8), В(5,-4), С(10,6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А; 4) уравнение высоты CD и её длину; 5) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение.

1. Расстояние d между точками определим по формуле , подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

2. Для нахождения уравнений сторон треугольника воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки, т.е. формулой .

Подставив координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:

Для нахождения углового коэффициента прямой АВ разрешим полученное уравнение относительно у:

получили .

Подставив в уравнение прямой, проходящей через две точки координаты точек А и С, получим уравнение прямой АС:

отсюда

3. Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдём по формуле , подставив в неё и

4. Так как высота CD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е. по формуле

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом k найдём по формуле . Подставив в это уравнение координаты точки С и , получим уравнение высоты CD

Для нахождения длины высоты CD определим координаты точки D. Точка D является точкой пересечения прямых АВ и CD , поэтому для нахождения её координат надо решить систему уравнений этих прямых:

откуда , т.е. точка D(2,0)

подставив в формулу, для нахождения расстояния между двумя точками, координаты точек С и D, находим:

5.Множество точек треугольника - АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, а третья ограничена прямой АС и содержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:

Поэтому искомое неравенство имеет вид: .

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, .подставив в формулу прямой проходящей через две точки координаты точек В и С:

Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем:

Искомое неравенство будет

Подобным образом составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В:

Третье искомое неравенство:

Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:

На рисунке в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображён треугольник АВС, высота CD.

Ответ:

1) длина стороны АВ=15

2) и

3)

4) и

5)

Пример 2. Определить центр и радиус окружности

Решение. Выделим полные квадраты, содержащие х и у.

из последнего уравнения, сравнивая с формулой , получаем координаты центра А(-2,1), радиус R=3.

Ответ: центр А(-2,1) и радиус R=3.

Пример 3: Привести к каноническому виду и определить вид кривой

Решение. Выделим полные квадраты, содержащие х

Это парабола с вершиной , ветви направлены вниз.

Ответ: парабола

Пример 4. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А(3,0) и до прямой х=12 равно числу . Полученное уравнение провести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. Пусть М(х, у) – текущая (произвольная) точка искомой линии. Опустим перпендикуляр МВ на прямую х=12 (рис.2). При этом абсцисса точки В будет 12 (точка В принадлежит прямой х=12), а у - как у точки М, т.е. В(12,у).

По условию задачи . Используя формулу для нахождения расстояния между двумя точками получим:

Подставим в отношение:

возведём обе части равенства в квадрат, получим:

преобразуем дробь как пропорцию:

получили уравнение эллипса, приведём его к каноническому виду :

из этого уравнения находим полуоси эллипса:

Определим фокусы эллипса и . Для эллипса справедливо равенство , откуда

Получили и - фокусы эллипса (точки F₂ и А совпадают).

Эксцентриситет эллипса

Ответ: эллипс

Пример 5. Составить уравнение линии, для каждой точки которой её расстояние до точки А(3,4) равно расстоянию до прямой у=2. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую.

Решение. М(х,у) – текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на прямую у=2 (рис.3). Тогда В(х,2). Так как по условию МВ=МА, то используя формулу для нахождения расстояния между двумя точками, получим:

полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке и параметром . Данная парабола изображена на рис.3

Рис.3

Ответ: парабола