9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Заполним для каждой модели расчетную
таблицу, в которую занесем теоретические
значения
,
найденные по соответствующему уравнению
для каждого уровня исходных данных
;
ошибки модели
и относительные погрешности
(таблицы 8-10).
Среднюю относительную погрешность
найдем по столбцу
с помощью функции СРЗНАЧ.
Индекс детерминации вычислим по формуле
,
для чего подготовим числитель дроби
- функция СУММКВ для столбца ошибок и
знаменатель
- функция КВАДРОТКЛ для столбца У.
Таблица 8.
гиперболическая модель |
|
|
|
|
|||
Y |
X |
1/Х |
Yт |
Е |
Е отн |
|
|
40 |
14 |
0,071 |
38,73796 |
1,262041 |
3,155102 |
квадроткл(Y)= |
64400 |
50 |
14 |
0,071 |
38,73796 |
11,26204 |
22,52408 |
суммкв(Е)= |
32359,64 |
60 |
17 |
0,059 |
97,93388 |
-37,9339 |
63,22313 |
R-квадрат= |
0,498 |
100 |
17 |
0,059 |
97,93388 |
2,066125 |
2,066125 |
|
|
180 |
18 |
0,056 |
113,281 |
66,71904 |
37,06613 |
Е ср.отн.= |
29,97 |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
310 |
26 |
0,038 |
193,558 |
116,442 |
37,56192 |
|
|
Таблица 9.
степенная модель |
|
|
|
|
|
||
Y |
X |
Yт |
Е |
Е отн |
|
|
|
40 |
14 |
51,83819 |
-11,8382 |
29,59548 |
|
|
|
50 |
14 |
51,83819 |
-1,83819 |
3,67638 |
|
суммкв(Е)= |
31437,71 |
60 |
17 |
80,78671 |
-20,7867 |
34,64452 |
|
R-квадрат= |
0,512 |
100 |
17 |
80,78671 |
19,21329 |
19,21329 |
|
|
|
180 |
18 |
92,05911 |
87,94089 |
48,85605 |
|
Е ср.отн.= |
26,65 |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
310 |
26 |
213,3119 |
96,68807 |
31,1897 |
|
|
|
Таблица 10.
показательная модель |
|
|
|
|
|
||
Y |
X |
Yт |
Е |
Е отн |
|
b= |
1,1225 |
40 |
14 |
56,07531 |
-16,0753 |
40,18827 |
|
|
|
50 |
14 |
56,07531 |
-6,07531 |
12,15061 |
|
суммкв(Е)= |
31132,79 |
60 |
17 |
79,32042 |
-19,3204 |
32,20069 |
|
R-квадрат= |
0,517 |
100 |
17 |
79,32042 |
20,67958 |
20,67958 |
|
|
|
180 |
18 |
89,04088 |
90,95912 |
50,53285 |
|
Е ср.отн.= |
27,39 |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
310 |
26 |
224,5045 |
85,49555 |
27,57921 |
|
|
|
Составим сводную таблицу характеристик качества построенных моделей:
сводная таблица характеристик качества |
||
модель |
R-квадрат |
Е ср.отн. |
линейная |
0,518 |
29,31 |
степенная |
0,512 |
26,65 |
показательная |
0,517 |
27,39 |
гиперболическая |
0,498 |
29,97 |
Столбец средних относительных погрешностей
показывает, что наиболее точной является
степенная модель, ее погрешность –
наименьшая. Однако
,
следовательно, точность степенной
модели неудовлетворительная.
По величине индекса детерминации лучшая
модель – линейная (индекс детерминации
наибольший).
,
таким образом, вариация (изменение)
суммы покупки на 51,8% объясняется по
уравнению линейной модели вариацией
времени разговора с продавцом.
Для нелинейных моделей
коэффициенты эластичности определяются
соотношением
,
согласно которому:
для степенной модели
коэффициент эластичности
и представляет собой постоянную величину;
для показательной модели
коэффициент эластичности
и зависит от значения фактора Х;
для гиперболической модели
коэффициент эластичности
и также зависит от значения фактора Х.
Для построенной степенной модели
получим
.
Следовательно, согласно этой модели
увеличение времени разговора с продавцом
на 1% приводит к увеличению средней суммы
покупки на 2,29%.
Для показательной и гиперболической моделей результаты расчета коэффициентов эластичности приведены в таблице
X |
Коэффициенты эластичности |
|
Показательная модель |
Гиперболическая модель |
|
14 |
1,62 |
8,66 |
14 |
1,62 |
8,66 |
17 |
1,97 |
2,82 |
… |
… |
… |
25 |
2,89 |
1,01 |
26 |
3,01 |
0,93 |
Таким образом, согласно показательной модели увеличение времени разговора с продавцом на 1% приводит к росту средней суммы покупки на величину от 1,62% до 3,01%. Согласно гиперболической модели при увеличении времени разговора с продавцом на 1% происходит рост средней суммы покупки в пределах от 8,66% до 0,93%.
Окончательный вывод о качестве моделей по коэффициентам эластичности следует делать с учетом экономического смысла задачи.
Логично предположить, что наиболее подходящей является показательная модель, т.к. наблюдаемый рост коэффициента эластичности соответствует реальной ситуации: чем больше времени занимает разговор с продавцом, тем сильнее это сказывается на росте суммы покупки.