5. Перехід від загального рівняння прямої до нормального.

Покажемо, як привести загальне рівняння прямої до нормального виду. Нехай пряма має рівняння:

Ах+Ву+С=0

Помножимо обидві частини цього рівняння на деяке число m¹0, тоді одержимо:

mАх+mВу+mС=0.

Підберемо m так, щоб виконувалися обидві властивості нормального рівняння:

З першої умови маємо

, (6.18)

а друга умова допоможе визначити знак m: знак m має бути протилежним знаку вільного члена в загальному рівнянні С, якщо С¹0. Якщо С=0, то знак можна вибирати довільно.

Число m називається нормуючим множником.

6. Відстань від точки до прямої.

Нехай задано пряму (l) за допомогою нормалі, як в пункті 6.4. І нехай задано точку М₀(х₀,у₀), яка не належить прямій (l). Поставимо задачу знайти відстань від цієї точки до прямої. Позначимо цю відстань через d (рис.6.15).

Покажемо радіус-вектор точки М₀: . Знайдемо проєкцію радіус-вектора на нормаль до прямої. В залежності від того, з якого боку від прямої розташована точка М₀, проєкція визначається за формулою: . Зауважимо, що праворуч буде сума p+d, коли початок координат і точка М₀ розташовані по різні боки від прямої і буде різниця p-d, якщо з одного боку. Розпишемо скалярний добуток:

x₀cosa+y₀sina-р=±d .

У цій рівності число d завжди додатне, а результат підстановки координат точки М₀ в ліву частину може бути як додатним, так і від'ємним. Це число називається відхиленням точки М₀ від прямої і позначається через d. Отже відхилення:

d= x₀cosa+y₀sina-р , (6.19)

а відстань , тобто

(6.20)

20. - формула для знаходження відстані від точки до прямої. Зазначимо, що при знаходженні відстані зручно мати рівняння прямої в нормальному виді (6.17). Тоді, підставивши координати точки М₀(х₀,у₀) в рівняння і взявши по модулю його ліву частину, матимемо відстань.

Приклад. Задано пряму 3х-4у+10=0 і точку М₀(4,3). Знайти відстань d від точки М₀ до прямої.

Розв'язування. Приведемо дане рівняння до нормального виду. Для цього вирахуємо нормуючий множник m за формулою (6.18), вибравши для нього знак мінус, оскільки вільний член в загальному рівнянні додатний.

.

Помноживши на це число задане рівняння, одержимо нормальне рівняння прямої:

. Тепер за формулою (6.20) знаходимо відстань .

7. Кут між двома прямими на площині.

Розглянемо дві прямі (l₁) i (l₂), які задаються рівняннями з кутовим коефіцієнтом: у=k₁x+b₁ i y=k₂x+b₂, де k₁=tga₁ , k₂=tga₂. Нехай j - кут між прямими (l₁) i (l₂), 0£j£p (рис. 6.16).

Із геометричних міркувань встановимо залежність між кутами a₁, a₂ і j: j=a₂-a₁. Звідси:

,

або

(6.21)

Формула (6.21) визначає один із кутів між прямими. Другій кут дорівнює p-j.

Із формули (6.21) випливають умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.

1. Якщо , то j=0 і tgj=0. В цьому випадку чисельник дробу в (6.21) дорівнює нулю, тобто k₂-k₁=0, звідки

k₂=k₁ (6.22)

22. - умова паралельності двох прямих.

23. Якщо , то і tgj - невизначений, що трапляється, коли знаменник дробу в (6.21) дорівнює нулю, тобто , звідки

(6.23)

23. - умова перпендикулярності двох прямих.

Приклад. Задано дві прямі у=2х+3 і у=-3х+2. Знайти кут між ними.

Розв'язування. Очевидно, k₁=2, k₂=-3, тому за формулою (6.21) знаходимо

Таким чином гострий кут між заданими прямими , а другий кут дорівнює .