58

Лекція 6 аналітична геометрія на площині.

1. Полярна система координат.

В лекції 4 було розглянуто декартову прямокутну систему координат. Зазначимо тільки, що на площині ця система визначається заданням лінійної одиниці виміру і двох впорядкованих взаємно-перпендикулярних осей, точку перетину яких називають початком координат, а осі 0x і 0y - координатними осями абсцис і ординат. Кожна точка задається за допомогою двох декартових координат x i y (рис. 6.1).

Поряд з декартовою прямокутною системою координат розглянемо полярну систему координат, яку дуже зручно використовувати у деяких задачах.

Полярна система координат визначаеться заданням точки 0, яку називають полюсом, променя 0Р (рис. 6.2), що виходить з цієї точки, який називають полярною віссю, і лінійної одиниці виміру. Точка М у цій системі задається за допомогою двох полярних координат: r - відстань точки М від полюса; j - кут, на який треба повернути полярну вісь, щоб вона співпала з променем 0М. Очевидно, що 0£r<+¥, а для кута j виділяють одне із його головних значень, яке задовільняє умову -p<j£p (але кут j можна приймати і з точністю до доданку ±2pn, nÎZ).

Встановимо зв'язок між полярними координатами точки та її прямокутними координатами. Припустимо, що початок координат міститься в полюсі, а додатна піввісь абсцис співпадає з полярною віссю. Нехай точка М має прямокутні координати x i y, а полярні r і j (рис. 6.3).

Очевидно,

(6.1)

Формули (6.1) виражають прямокутні координати через полярні. Зворотний зв'язок:

(6.2)

Зауважимо, що формула визначає два значення полярного кута j, оскільки -p<j£p. Тому із двох значень кута j вибирають те, при якому виконуються рівності (6.1).

2. Перетворення прямокутних координат.

При розв'язуванні багатьох задач аналітичної геометрії поряд з даною прямокутною системою координат доводиться розглядати інші прямокутні системи. При цьому координати точок змінюються. Тому виникає задача: знаючи координати точки в одній системі, знайти координати цієї ж точки в іншій системі координат.

Розглянемо два види перетворень прямокутних координат: паралельний зсув осей, коли змінюється положення початку координат, а напрям осей залишається без зміни, і поворот осей координат, коли обидві осі повертаються на один той самий кут, а початок координат залишається без зміни.

1. Паралельний зсув осей. Нехай в системі 0xy точка М має координати (x,y). Перенесемо початок координат в точку 0'(a,b), де a i b - координати нового початку в старій системі координат 0xy. Нові осі 0'x' i 0'y' виберемо співнапрямленими зі старими осями 0x i 0y. Позначимо координати точки М в системі 0'x'y' через (x',y') (рис. 6.4). Запишемо очевидні рівності:

Таким чином:

х=х'+а, y=y'+b (6.2)

або:

x'=x-a, y'=y-b (6.3)

2. Поворот осей. Повернемо систему координат 0xy навколо початку координат 0 на кут a в положення 0x'y' (рис. 6.5). Точка М має координати (x,y) в старій системі 0xy і координати (x',y') в новій системі 0x'y'. Встановимо зв'язок між цими координатами. Для цього позначимо через (r, q) полярні координати точки М , вважаючи за полярну вісь додатну піввісь 0х, а через (r, q') - полярні координати тієї ж точки М, вважаючи полярною віссю додатну піввісь 0х'. Очевидно, , а .

Згідно з формулами (6.1):

і аналогічно

Таким чином,

Отже:

(6.4)

і навпаки:

(6.5)