10. Движение тела переменной массы. Уравнение Мещерского.

Движение тела переменной массы - движение материальных тел, масса которых изменяется во время движения. 

v– скорость ракеты (основной массы),

u– скорость газов (убывающей массы)

относительно ракеты,

F– внешняя сила.

p(t)=mv – импульс ракеты

p(t+dt)=(m+dm)(v+dv)+dm’(v+u) – импульс ракеты и газов

Уравнение Мещерского имеет вид:

        где V1 — относительная скорость отделяющихся частиц,

            — секундный расход массы движущейся точки, 

V2 — относительная скорость присоединяющихся частиц,

            — секундный приход массы.

   — реактивная тяга, а

   - тормозящая сила, обусловленная присоединением частиц.

– реактивная сила

Прямолинейное движение ракеты u= const, v(0) = 0

формула Циолковского

11. Движение в центральном поле сил. Законы Кеплера и закон всемирного тяготения.

Силовое поле называется центральным, если на частицу, помещенную в это поле, действует сила, направленная вдоль луча, соединяющего частицу и центр силового поля, а величина силы зависит только от расстояния частицы до центра.

Центр силового поля – это точка, где помещается частица, создающая поле.

Центральное поле является сферически симметричным, т.е все точки, лежащие на сфере некоторого радиуса с центром, совпадающим с центром поля, находятся в эквивалентном положении по отношению к полю.

Для движения в центральном поле сил полная механическая энергия E (сумма кинетической и потенциальной энергии) сохраняется. Другими словами,

Движение в центральном поле сил происходит в плоскости, перпендикулярной (постоянному) вектору момента количества движения .

Великий немецкий астроном и математик И. Кеплер в начале 17 в. сформулировал законы движения планет Солнечной системы:

1 закон Кеплера: Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого расположено Солнце.

2 закон Кеплера: Радиус-вектор планеты в равные промежутки времени описывает равные площади.

3 закон Кеплера: Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.

Эти эмпирические формулировки справедливы не только для движения планет вокруг Солнца, но и для движения спутников планет. В этом случае центральным телом будет являться планета, например, Земля. Законы Кеплера послужили исходным материалом для вывода основных законов механики и закона всемирного тяготения. Сам закон был выведен Ньютоном на основании предположения, что сила, определяющая движение планет, и сила, определяющая падение тел на Земле, одна и та же.

Закон всемирного тяготения гласит , что каждая масса M₁ притягивается к другой массе M₂ во Вселенной с силой равной: , где G – гравитационная постоянная, имеющая величину 6,67·10^-11 н·м²/кг² r – вектор, идущий от M₁ к M₂ .

Сила всемирного тяготения - центральная сила: она направлена по линии, соединяющей две материальные точки.

12. Консервативные и неконсервативные силы. Работа консервативных сил. Потенциальная энергия.

Консервативные силы –  это силы, работа которых не зависит от вида траектории точки приложения этой силы и закона её движения и определяется только начальным и конечным положением этой точки. Равносильным определением является и следующее: консервативные силы — это такие силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна 0.

Существуют силы, работа которых зависит от формы пути, т. е. работа по замкнутой траектории не равна нулю. Такие силы называют неконсервативными. К ним относятся диссипативными силы- силы, работа которых отрицательна. 

Примерами консервативных сил являются: сила тяжести, сила упругости, сила кулоновского (электростатического) взаимодействия. Центральные силы являются консервативными. Примером неконсервативной силы является сила трения и сопротивления. К неконсервативным силам относятся также гироскопические силы

Лоренца и Кориолиса. От консервативных сил они отличаются тем, что определяются не только положением, но и скоростью движения тел. Работа таких сил равна нулю. Работа консервативных сил не зависит от вида траектории перемещения тела, а зависит только от координат его начального и конечного перемещений. Работа консервативных сил на любом замкнутом участке пути равна 0.

Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении кон­фигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:   Работа dA выражается как скалярное произведение силы F на перемещение dr и выражение можно записать в виде   Следовательно, если известна функция П(r), то из формулы можно найти силу F по модулю и направлению.

Энергию взаимного расположения тел, учитывающую вид их взаимодействия, называют потенциальной энергией.

Потенциальная энергия – это энергия, которой обладает тело благодаря своему положению по отношению к другим телам, или благодаря взаимному расположению частей одного тела.

Гравитационная потенциальная энергия: Еп = mgh

Потенциальная энергия упругих тел:  , где k – жёсткость пружины; х – её деформация.