28. Классическое волновое уравнение. Бегущие волны. Гармоническая бегущая волна, ее характеристики (длина волны, частота и др.).

Для однородной, изотропной, непрерывной среды, которая не поглощает энергию вместо уравнения волны используют волновое уравнение, представляющее собой дифференциальное уравнение в частных производных.

Волновое уравнение можно получить, если найти вторые частные производные по каждой из координат, используя уравнение плоской бегущей волны:

Если волна при распространении изменяется по гармоническому закону, то она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям:

1) 2)

Бегущая волна — волновое движение, при котором поверхность равных фаз (фазовые волновые фронты) перемещается с конечной скоростью (постоянной для однородной среды). С бегущей волной, групповая скорость которой отлична от нуля, связан перенос энергии, импульса или других характеристик процесса.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. т.е. описываются по закону синуса или косинуса. Часто гармоническую волну называют синусоидальной.

Уравнение бегущей гармонической волны: S=Acos(wt-kх+j0) где А-амплитуда волны, Ф=wt- kх+j0- фаза волны, j0 - начальная фаза.

Расстояние между ближайшими частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе, называют длиной волны. Волна, распространяясь со скоростью v за время T, пройдет путь, равный vT, т. е. Для волнового процесса характерна периодичность по времени и по пространству.

Т – период колебаний точек среды. Роль пространственного периода играет длина волны  .Соотношение между периодом и циклической частотой задается формулой:  . 

Из повседневного опыта известно, что бегущие по воде волны распространяются с постоянной скоростью, пока свойства среды, например, глубина воды, не меняется, что говорит о том, что скорость распространения волнового процесса в пространстве остается постоянной. В случае гармонических бегущих волн (см. определение выше) эта скорость называется фазовой.

Фазовая скорость   - это скорость распространения данной фазы колебаний, т.е. скорость волны. Связь длины волны  , фазовой скорости   и периода колебаний Т задается соотношением: .Учитывая, что  , где   - линейная частота волны,   - период, а циклическая частота волны  , получим разные формулы для фазовой скорости: .

29. Принцип суперпозиции. Интерференция волн. Стоячие волны.

Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы каждой волны.

Интерференция волн – наложение двух (или нескольких) когерентных волн, в результате чего происходит усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Когерентными называются волны одного направления одинаковой частоты и постоянной разности фаз.

Рассмотрим наложение двух когерентных волн, возбуждаемых точечными источниками (для простоты начальные фазы φ₀=0):

ξ₁(r,t)=A₁·cos[ω(t-r₁/υ)]  ξ₂(r,t)=A₂·cos[ω(t-r₂/υ)].

Разность фаз этих колебаний равна:

φ₁-φ₂=(ω/υ)·(r₁-r₂)=Δr·ω/υ=Δr·2π/υT=Δr·2π/λ,

где Δr=r₁-r₂ - разность хода волн, λ=υT - длина волны.

1)если колебания происходят в одинаковой фазе, т.е. φ₁-φ₂=±2kπ (k=0,1,2...), то наблюдается максимум интерференции.

Условие максимума при интерференции:

Δr=±kλ(k=0,1,2...)

В этом случае A=A₁+A₂.

2) если колебания происходят в противофазе, т.е. φ₁-φ₂=±(2k+1)π (k=0,1,2...), то наблюдается минимум интерференции.

Условие минимума при интерференции:

Δr=±(2k+1)·λ/2 (k=0,1,2...)

В этом случае A=| A₁-A₂ |

Стоя́чая волна́ — колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов и минимумов амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе; в природе — волны Шумана.

Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде и полном отражении волн от границы. В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:

,

где u — возмущения в точке х в момент времени t,   — амплитуда стоячей волны,   — частота , k — волновой вектор,   — фаза.

Стоячие волны являются решениями волновых уравнений. Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются пучностями.