Лекция 20

Полная математическая модель упругого деформируемого тела

До сих пор мы рассматривали задачи в постановке сопротивления материалов. При этом стремились строить модели в виде, доступном для аналитического решения или численного интегрирования без применения специальных программных пакетов. Фактически мы рассматривали только те задачи, описание которых сводилось к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Схематизировались объекты и свойства материалов, что приводило к приближенным результатам. При этом в реальных расчетах приходилось брать существенные запасы прочности.

Некоторые задачи вообще не решаются в такой постановке. В других приходится вводить так называемые коэффициенты концентрации напряжений, определяемые экспериментально, и учитывающие особенности НДС в особых точках или зонах. Развитие вычислительной техники и численных методов позволяет решать задачу при гораздо меньшей схематизации. Мы в нашем курсе ограничимся только следующей схематизацией: закон Гука и малые перемещения и деформации. Такая постановка приводит к моделям, доступным для численного (а, иногда, и аналитического) решения.

1. Постановка задачи и параметры математической модели

Решаем задачу в декартовых координатах относительно неподвижной исходной правой системы осей xyz.. Некоторые параметры задачи и уравнения связи уже рассматривались:

- неизвестные функции от координат –

параметры НС в точке с координатами x, y, z;

- неизвестные функции от координат –

параметры ДС в точке с координатами x, y, z;

- неизвестные функции от координат –

перемещения точки с координатами x, y, z;

- известные функции от координат –

проекции давления поверхностных сил на

поверхность тела в точке точки с координатами x, y, z;

- известные функции от координат –

проекции объемных сил в точке точки

с координатами x, y, z;

- известная функция от координат,

описывающая поверхность тела до нагружения.

Для нахождения 15-ти неизвестных функций необходимо 15 уравнений. Получим их.

2. Уравнения равновесия в напряжениях

В точке можно составить три уравнения равновесия равенство нулю суммы сил в проекции на координатные оси. Например, на ось х:

После преобразования

. (1)

Аналогично по другим осям

, (2)

. (3)

3. Геометрические соотношения. Формулы Коши

Бесконечно малый отрезок – вектор , направленный по направлению после нагружение перемещается в положение . Представим результат перемещения как прибавление вектора . Тогда приращение длины вектора, выбранного в направлении , есть скалярное произведение , поделив которое на ,вычисляем линейную деформацию в выбранном направлении

.

Но: , , , а , и, окончательно, получаем

Физический смысл первых трех членов очевиден. Например, при получаем линейную деформацию отрезка, направленного по оси x, т.е. . (4)

Аналогично , (5) и . (6)

Остальные три члена – угловые деформации. Действительно, например,

, но .

Аналогично . Т.е. в малых деформациях

(7). Аналогично (8), (9).

Таким образом, деформированное состояние в точке определяется шестью параметрами – линейными деформациями по координатным осям и угловыми деформациями в координатных плоскостях. В произвольном направлении имеем