Плоские стержневые системы

1. Общий подход к решению задачи

   • Стержневая система – совокупность n соединенных между собой стержней.

   • Стержень имеет начало и конец, условно определяемые для удобства расчетов.

   • Места сопряжения одного или нескольких стержней образуют k узлов, m из которых – граничные, то есть контактируют с другими объектами на границе стержневой системы.

На рисунке 1. приведена плоская стержневая система n=7, k=5, m=2.

Стрелками обозначено «направление» стержней, позволяющее идентифицировать начало и конец стержня. Например, в узле j=2 начинаются стержни i=2 и i=4 , заканчивается стержень i=1.

Координаты начала стержней x_нi и y_нi и конца x_кi и y_кi , а также координаиы узлов X_j и Y_j могут быть заданы в глобальной системе координат XОY.

Внешние нарузки на стержневую систему могут быть приложены в узлах – силы P_xj и P_yj в проекциях на оси глобальной системы координат, и непосредственно к стержням: q_yi , q_zi , P_yi , P_zi в локальной системе координат каждого стержня, описанные выше.

Внутренние силы в поперечных сечениях стержней будем описывать в неподвижных осях локальной системы координат, как принято выше. В крайних сечениях стержней: при z=0 это N_нi , Q_нi , M_нi ; при z_i=l_i это N_кi , Q_кi , M_кi .

Длина стержня l_i вычисляется через координаты начала и конца

. (1а)

В общем случае сопряжения стержней и нагружения стержневой системы каждый стержень подвергается растяжению-сжатию и изгибу одновременно. Его напряженно-деформированное состояние описывается системой дифференциальных уравнений 6-го порядка. Таким образом, для определения непряженно-деформированного состояния стержневой системы необходимо найти 6n начальных параметров в локальных системах координат стержней

w_нi, N_нi, Q_нi, M_нi, _нi, v_нi .

Разрешающая система уравнений всегда может быть сформулирована и состоит из:

• условий сопряжения стержней в узлах,

• условий равновесия свободных узлов,

• условий равновесия и кинематических условий граничных узлов.

• Условия сопряжения стержней в узле формулируются следующим образом.

Два условия – равенство перемещений для каждой пары сопрягаемых стержней в глобальной системе координат и их равенство перемещениям узлов W_j и V_j (см. рис.2)

, , (2)

о динаковы при жестком и шарнирном сопряжении стержней в узлах.

В формулах (2):

w_i и v_i – перемещения соответствующего конца стержня по осям z и y в локальной системе координат,

_I – угол наклона стержня к оси OX,

, (1б) (1в)

Другой вид зависимости (2), который будет использоваться ниже,

. (2а)

Третье условие отличается для жестких и шарнирных узлов.

Д ля жестких это равенство угла поворота сечений сопрягаемых стержней стержня (_нi или _кi ) и их равенство углу поворота узла _j . Для шарнирных узлов это равенство нулю момента в начале или конце одного из сопрягаемых стержней (M_нi = 0 или M_кi = 0).

• Схема приложения внутренних сил в узле

представлена на рис.3. Условия равновесия свободных узлов представляют собой равенство нулю сумм проекций сил в узле на оси координат и момента всех сил в плоскости стержневой системы:

, (3)

, (4)

. (5)

• Д ля граничных узлов:

а) при жестком закреплении

;

б) при шарнирно-неподвижном закреплении

;

в) при шарнирно-подвижном закреплении (см. рис.4)

; (2б)

; (3б)

.

. В примере рис.1 6*7=42 разрешающих уравнения получаются как 3*5=15 уравнения равновесия и кинематических условий для 5-ти узлов плюс 3*9=27 условий сопряжения пар стержней (j=1 – 1 пара, j=2 – 2 пары, j=3 – 2 пары, j=4 – 3 пары, j=5 –1 пара).

2. Способы решения задачи

2.1 Численное интегрирование системы 6n дифференциальных уравнений с учетом 6n разрешающих уравнений.

Решение может быть реализовано на любом языке программирования. Рассмотрим алгоритм применительно к Excel.

• Интегрируем по 6 дифференциальных уравнений плоского изгиба и растяжения («ссылка» или «ссылка») каждого стержня в отдельности (см. выше).

• Формируем задание на ПОИСК РЕШЕНИЯ на основе 6*n разрешающих уравнений для стержневой системы (см. п.1).

• Выполняем ПОИСК РЕШЕНИЯ и находим начальные параметры для всех стержней, т.е. полное решение для каждого стержня.

Этот алгоритм принципиально не отличается от рассмотренных выше («ссылки»)

и может быть реализован без упрощений (малые перемещения и т.д.). При большом n решение громоздко и ограничено возможностями Excel.

2.2. Методы, основанные аналитических решениях основной системы дифференциальных уравнений плоского изгиба и растяжения прямого стержня

Расчеты ведутся по формулам («ссылки»). Начальные параметры определяются решением системы 6n разрешающих уравнений.

Методам присущи все ограничения, связанные с возможностью аналитического решения дифференциальных уравнений плоского изгиба и растяжения.

• Малые перемещения (углы поворота сечений)

;

• Решение задачи о растяжении без связи с решением задачи об изгибе

, откуда W’=N/EF; N’=-q_z .

• Постоянство нормальной силы в сечении (q_z =0) – N=T=const, что дает возможность аналитического решения задачи об изгибе:

при Т=0 – поперечный изгиб («ссылка»).

при T<0 – продольно-поперечный изгиб («ссылка»),

при Т>0 – изгиб с растяжением («ссылка»).

В сопротивлении материалов расчеты ведут при Т=0. Их результаты дают достаточную точность при Т < 0.05*P_кр (P_кр – критическая сила по Эйлеру). Наиболее простые решения получаются для ферм (все узлы шарнирные, силы только в узлах) и рам (углы между стержнями прямые, удлинением стержней пренебрегают). При n>(3-4) аналитическое решение разрешающей системы линейных уравнений практически невозможно и приходится прибегать к численным методам.

Решение при Т0 приводит к необходимости итераций, так как , от величины и знака N зависит решение для изгиба, а оно, в свою очередь, определяет N. Иными словами, системе разрешающих уравнений нелинейная.

Фактически за исключением малых n для ферм и рам применение этого способа нецелесообразно.

3. Методы, основанные на сочетании аналитических и численных решений.

Преимущество метода в отношении 2.1 состоит в том, что не нужно интегрировать дифференциальные уравнения. Из ограничений 2.2 безусловно используется два последних. Применение первого не обязательно, но фактически это условие выполняется.

Наиболее эффективно применение метода 2.3 при замене неизвестных начальных параметров неизвестными перемещениями узлов – метод перемещений. Количество неизвестных в разрешающей системе уменьшается минимум в два раза, так как часть перемещений узлов известна из граничных условий.

Метод перемещений является основой наиболее эффективного численного решения задач механики сплошной среды – метода конечных элементов и рассматривается далее подробно.

3. Метод перемещений

3.1 Сущность метода

• Перемещения концов каждого стержня

w_кi , w_нi , v_кi , v_нi , _кi, _нi , (6)

выражаются через перемещения узлов Wj , V_j , _j .

• По аналитическим зависимостям выражаются для каждого стержня внутренние силы N_нi, Q_нi, M_нi , N_кi, Q_кi, M_кi через перемещения концов стержней, т.е. через перемещения узлов.

• Формулируются условия равновесия узлов и кинематические условия для граничных узлов, выраженные через перемещения узлов.

• Решается система условий равновесия и кинематических условий и находятся перемещения узлов.

• По найденным перемещениям узлов вычисляются относительные перемещения концов стержней и, по аналитическими зависимостям, – внутренние силы на концах стержней.

• Напряжения в стержнях вычисляются по известным формулам сопротивления материалов («ссылка»)

2. Организация расчетов в Excel (описание шаблона)

Шаблон строится для наиболее общего случая – все сопряжения стержней в узлах – жесткие. Другие варианты получаются несложной трансформацией шаблона, описываемой ниже.

Шаблон выполнен для i  7, j  5.

1. Заполняются таблицы исходных данных для стержней и поперечных нагрузок на стержни.

i	xнi	yнi	xкi	yкi	sin i	cos i	li	Еi	Fi	Ji	WCi
1
…
n

В таблице W_ci – момент сопротивления сечения. Остальные параметры описаны выше. Значения sin _I , cos _{I ,} l_i вычисляются по формулам (1а), (1б), (1в).

i	qyi	ai	Pyi
1
…
n

В таблице: q_yi – поперечная погонная нагрузка на стержень в локальной системе

координат,

P_yi – поперечная сила на стержень в локальной системе координат, приложенная на расстоянии a_i от начала стержня.