2.4Приклади аудиторних і домашніх задач

Задача 1

Визначити граничну помилку вибірки і побудувати довірчий інтервал для середнього значення. Зробити висновки.

Таблиця 2.2  Дані про тривалість безвідмовної роботи агрегату

Тривалість безвідмовної роботи, год.	Число агрегатів, шт.
	Номер варіанту завдання
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
14800	2	5	10	2	1	0	11	7	3	1
15200	5	8	3	5	4	9	6	2	8	4
15600	15	19	20	22	11	18	25	27	20	19
16000	12	17	13	15	18	19	16	12	17	18
16400	11	19	15	17	16	10	15	9	18	13
16800	5	6	2	8	7	6	8	9	1	9
17200	0	0	1	0	2	0	3	4	0	1
Разом

Задача 2

Проведена 10-процентна типова вибірка, пропор­ційна чисельності відібраних груп робітників (табл. 2.3).

Визначити з імовірністю 0,954 межі, в яких знахо­диться середній відсоток виконання норм робітниками в цілому. Вибірка безповторна.

Таблиця 2.3 — Характеристика вибірки робітників

Групи робітників за спеціальністю	Численність, чол.	Середнє виконання норм, %	Середнє квадратичне відхилення, %
Т	40	98	2
С	50	108	3
Ф	60	104	5

Задача 3

Для визначення середньої врожайності цукрового буряка в області проведена 20-процентна серійна вибірка, до якої відійшло 5 районів із 25. Середня врожайність для кожного району становила: 250, 260, 275, 280, 300 ц/га з площі 800, 1000, 1200, 1200 і 2800 га відповідно. Визначити з ймовірністю 0,954 межі, в яких буде знаходитись середня врожайність цукрового буряка по області.

Задача 4

На електроламповому заводі з метою перевірки якості ламп була організована мала вибірка (табл. 2.4). У випадковому безповторному відборі було відібрано 10 ламп.

Необхідно визначити граничну помилку вибірки і побудувати довірчий інтервал для середньої.

Таблиця 2.4 — Розрахунок граничної помилки вибірки

Тривалість горіння, год. (xi)	Число ламп, шт. (fi)
1480	2
1500	4
1520	3
1540	1
Разом	10

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1

З отари овець загальною чисельністю 1000 голів (N) вибірковій контрольній стрижці було піддано 100 голів (n), середній настриг вовни при цьому становив 4,2 кг на одну вівцю при середньому квадратичному відхиленні 1,5 кг. Визначити межі, в яких знаходиться середній настриг вовни для усіх 1000 голів з імовірні­стю 0,954 (t = 2).

У даному разі маємо простий випадковий відбір, до того ж, зрозуміло, безповторний. Підставимо дані у відповідні формули:

,

.

Тоді одне із можливих значень, в межах яких може знаходитись середній настриг вовни, розраховуєтся за формулою

.

У загальному вигляді це записується таким чином:

,

що дорівнює:

.

Таким чином, на підставі проведеної вибірки га­рантуємо, що у 954 випадках із 1000 середній настриг вовни буде знаходитися в межах: від 3,9 до 4,4 кг на одну вівцю.

Задача 2

Для визначення якості продукції відібрано 500 одиниць з 10 000. Серед них виявлено 50 виробів тре­тього сорту. Визначити граничну помилку частки з імовірністю 0,997.

Маємо, що частка виробів третього сорту становить

,

тоді частка першого та другого сортів становить

p = 1 – W =1 – 0,1 = 0,9.

Підставимо дані в формулу для простого випадко­вого безповторного відбору:

,

.

Таким чином, на підставі проведеної вибірки вста­новлено, що середній відсоток виробів третього сорту становить 10 % з можливим відхиленням в той чи інший бік на 3,9 %. З імовірністю 0,997 можна ствер­джувати, що середній відсоток виробів третього сорту в усій партії буде знаходитись у межах

, тобто .