44. Дайте определение линейного оператора.

Оператор А, действующий из Х в Y ( ), называется линейным, если выполняется принцип суперпозиции: для любых и , где – область определения оператора А, а F – поле, над которым задано ЛП Х, справедливо равенство: .

Это означает, что линейный оператор аддитивен, , и однороден, .

45. Приведите примеры линейных операторов.

1. Линейный оператор в конечномерных пространствах R_n и С_п. Рассмотрим для определенности R_n с базисом , k = 1, 2, …, n. Для произвольного вектора из R_n можно записать , и в силу линейности оператора А: . Таким образом, линейный оператор полностью определен, если известно, как он действует на базисные вектора.

Рассмотрим ЛП – область значений оператора А и выберем в нем базис , l = 1, 2, …, m, m  n. Тогда можно записать , где a_ik – координаты преобразованного базисного вектора относительно базиса , и .

2. Оператор поворота вектора на плоскости на угол . Ортонормальным базисом в R₂ будет система векторов = (1, 0), = (0, 1). Преобразованные (повернутые на угол ) базисные векторы можно записать в исходном базисе как и . Таким образом, матрица поворота любого вектора на плоскости имеет вид

3. Тождественный, или единичный, оператор Е. Он превращает любой вектор из Х в самого себя, т. е. E = . Для R_n этот оператор определяется единичной матрицей Е.

4. оператор дифференцирования . Областью его определения в С [a, b] и L₂ [a, b] является множество дифференцируемых функций. Более общим является дифференциальный оператор n-го порядка D_n, определяемый как , где _k(t) – фиксированные функции. Областью определения оператора D_n является множество n раз дифференцируемых функций.

4. интегральные операторы Фредгольма и Вольтерра . Здесь функция двух переменных K(s, t) называется ядром оператора. Обычно для С[a,b] предполагается непрерывность K(s, t) по обоим аргументам, а для L₂ [a, b] – интегрируемость квадрата ядра, т. е. . Для оператора Вольтерра обычно предполагается, что функция K(s,t) непрерывна при s < t и K(s, t) = 0 при s > t.

46. Как определяются сумма и произведение линейных операторов, степень оператора и функция от оператора?

Суммой линейных операторов А и В называют линейный оператор С, для которого . Область определения оператора С является пересечением областей определения операторов А и В.

Произведением операторов А и В называют результат их последовательного действия, т. е. . Область определения С состоит из тех , для которых , где D_B и D_A – области определения операторов В и А соответственно. Степень оператора A^k = (A*(A*(A(...A* )))). Функцию от оператора

47. Д айте определение прямого и обратного оператора Фурье. Докажите линейность оператора Фурье.

П рямое преобразование Фурье: , а обратное . Док-во линейности:

48. Д айте определение прямого и обратного оператора Гильберта. Докажите линейность оператора Гильберта.

С игнал выглядит: Прямой: Обратный: Док-во линейности:

49. Дайте определение линейного функционала.

Пусть Х и Y – линейные нормированные пространства. Оператор А, действующий из Х в Y ( ), называется линейным, если выполняется принцип суперпозиции: для любых и , где – область определения оператора А, а F – поле, над которым задано линейное пр-во Х, справедливо равенство: ., α1 и α2 – скаляры.

50. Приведите примеры линейных функционалов.

а ) Линейный оператор в конечномерных пространствах R_n и С_п. Рассмотрим R_n с базисом , k = 1, 2, …, n. Для произвольного вектора из R_n можно записать и в силу линейности оператора А: . Рассмотрим ЛП – область значений оператора А и выберем в нем базис , l = 1, 2, …, m, m  n. Тогда можно записать , где a_ik – координаты преобразованного базисного вектора относительно базиса , и

б) Тождественный, или единичный, оператор Е. Он превращает любой вектор из Х в самого себя, т. е. E = . Для R_n этот оператор определяется единичной матрицей Е.

в) Оператор дифференцирования . Областью его определения в С [a, b] и L₂ [a, b] является множество дифференцируемых функций. Общая формула: , где _k(t) – фиксированные функции. Областью определения оператора D_n является множество n раз дифференцируемых функций.

51. Сформулируйте обобщенное равенство Парсеваля и теорему Рэлея.

Обобщенное равенство Парсеваля: Если f(t)=φ(t)=s(t), то - теорема Рэлея

.

52. Чему равны комплексный коэффициент передачи, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики линейного фильтра, осуществляющего преобразование Гильберта?

Компл. коэф. передачи: . АЧХ: . ФЧХ:

53. Дайте определение аналитического сигнала. Как определить огибающую (модуль аналитического сигнала), характеризующую закон амплитудной модуляции и фазу (аргумент аналитического сигнала), определяющие закон угловой модуляции?

Комплексная функция называется аналитическим сигналом. Огибающая: . Фаза: . Тогда сигнал выглядит: .

54. Докажите, что функция s(t) и функция, преобразованная по Гильберту, ортогональны.

По обобщенному равенству Парсеваля: (равен нулю как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах).

55. Дайте определение дельта-функции. В чем заключается ее фильтрующее свойство? Определите спектральную плотность сигнала .

П усть случайная величина распределена по нормальному закону. Ее плотность вероятности , где а – мат.ожидание, а σ – дисперсия. Пусть а=0. Тогда - дельта функция. Так как , то и . Короче говоря . Фильтрующее св-во: для любой непрерывной функции f(t) интеграл с учетом того, что дельта-функция отлична от нуля лишь в точке s = t, можно записать как

(потому что функция будет существовать только в точке t=0 => e^0=1).

56. Пусть сигнал s(t) имеет спектр . Найдите спектр смещенного сигнала s(t – ). Найдите спектр сигнала .

. Делаем замену переменных x=t-τ. Получаем, что спектр смещенного на время  сигнала равен произведению исходного спектра на . Спектр сигнала равен .

57. Пусть сигнал s(t) имеет спектр . Найдите спектр сигнала . Найдите спектр сигнала s(t) cos ₀t.

Учитывая, что , получим следующее выражение для спектра сигнала s(t) cos ₀t: .

58. Пусть сигнал s(t) имеет спектр . Найдите спектр сигнала s(kt), где k > 0. Определите спектральную плотность прямоугольного видеоимпульса длительностью k_и

59. Пусть сигнал s(t) имеет спектр . Найдите спектр производной и интеграла этого сигнала.

Так как по условию то первое слагаемое равно нулю. В результате имеем .

60. Найдите преобразование Фурье свертки и произведения функций f(t) и g(t).

преобразование Фурье свертки функций f(t) и g(t) сводится к вычислению двойного интеграла вида:

. Меняя порядок интегрирования по  и t, получим .

Выражение в квадратных скобках в соответствии с теоремой смещения есть . Учитывая, что , получим окончательно , т. е. свертке сигналов во временной области соответствует в частотной области перемножение спектров.