29. Дайте определение базиса конечномерного лп. Какие важнейшие свойства базиса должны выполняться в лп?

Если в L существует п линейно независимых векторов ₁, ₂, …, _n, а любые n + 1 вектор линейно зависимы, то число n называют размерностью пространства L , записывая это утверждение в форме dim L = n. Сами векторы ₁, ₂, …, _n образуют базис п-мерного ЛП L.

Свойства:

1. Любой вектор линейного пространства можно записать в виде линейной комбинации базисных векторов , где – совокупность базисных векторов, а скаляры x_i представляют собой координаты вектора относительно базиса .

2. Линейной оболочкой базисной системы векторов является само ЛП L

30. Приведите не менее трех примеров базисных систем для различных лп (с формулами или рисунками).

В R_n или С_n базисной системой является совокупность п векторов вида = (1, 0, 0, …, 0), = (0, 1, 0, …, 0), …, = (0, 0, …, 0, 1).

В C[a,b] (множество функций, непрерывных на промежутке) базисную систему образует совокупность степенных функций {tⁿ}, n = 0, 1, 2, … α_n tⁿ+ α_n-1 t^n-1+…+ α₂t²+ α_t+ α_o

В L2(множество функций с интегрируемым квадратом): {1+coskt,sinkt}

31. Дайте определение скалярного произведения для лп. Перечислите свойства скалярного произведения.

Скалярное произведение для ЛП, заданных над полями R или С, определяется аксиоматически как правило отображения любой упорядоченной пары < , > векторов и в множество скаляров из поля R или С, над которыми задано ЛП. Это правило должно удовлетворять следующим условиям: а) ( , ) – неотриц. вещественное число, равное нулю, только если = . б) ( , ) = ( , )^*, где – знак комплексного сопряжения. Свойства: а) б) , .

32. Приведите и докажите неравенство Коши-Буняковского для произвольных линейных пространств.

Неравенство: . Док-во: Запишем очевидное неравенство, справедливое для любых векторов и и значений скаляра λ . Раскрывая его, получим . Поскольку это неравенство справедливо при любых λ, то полагая, что , после подстановки и преобразований на основе аксиомы , получаем , откуда следует, что .

33. Как в евклидовых пространствах норму и метрику согласовывают со скалярным произведением?

В евклидовых пространствах норму и метрику согласовывают с введенным скалярным произведением, полагая

34. Дайте определения пары ортогональных векторов, системы ортогональных векторов, ортонормальной системы. Докажите, что для ортогональной системы справедливо равенство .

Д ва вектора и называются ортогональными,  , если ( , ) = 0. Ненулевая совокупность векторов называется ортогональной системой, если для любой пары векторов этой системы скалярное произведение равно нулю, т. е. при l  m. Если квадрат нормы каждого вектора ортогональной системы равен единице, то система называется ортонормальной. Док-во:

35. Запишите представление вектора через ортогональные базисные вектора . Докажите для конечномерных ЛП равенство Парсеваля || ||² = .

= = . Док-во равенства Парсеваля: при разложении вектора по ортогональному базису квадрат нормы вектора равен Если базисная система ортонормальна

36. Докажите, что любая ортогональная система ненулевых векторов является линейно независимой →

37. Докажите, что координаты вектора относительно ортогонального базиса равны х_п = , а для ортонормального х_п = .

38. Докажите, что скалярное произведение в R_n записывается как ( , ) = , где х_k и y_k – координаты векторов и в ортонормальном базисе.

39. Постройте первые четыре функции Хаара. Проверьте ортогональность любой пары из построенной системы функций.

40. Проверьте линейную независимость векторов = (0, –1, 3), = (1, 1, 0), = (–1, –1, 1).

41. Докажите ортогональность системы , на отрезке [–, ]. Превратите ее в ортонормальную систему.

42. Запишите неравенство Бесселя. Дайте определение замкнутой ортонормальной системы.

Ортонормальная система называется замкнутой в L₂ [a, b], если для  f(t)  L₂ [a, b] неравенство Бесселя обращается в равенство Парсеваля:

43. Дайте определение оператора, функционала, функции. Как определяется понятие обратного оператора?

Оператором называют отображение элементов одного метрического пространства Х в элементы другого метрического пространства Y, что кратко записывается в форме y = Ax. Если Y – числовое множество, то оператор превращается в функционал. Если X – также числовое множество, то речь идет о функции y = f(x). Если уравнение y = Ax разрешимо относительно х при любом у из области значений оператора А, т. е. х = А^–1у, то говорят, что оператор А обратим, и А^–1 – его обратный оператор.