- •Дайте определение понятия множества. Приведите примеры множеств.
- •Назовите основные операции над множествами и укажите, в чем они заключаются.
- •Какие множества называются эквивалентными? Каким условиям удовлетворяет отношение эквивалентности?
- •С формулируйте и проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера – Венна определения разности множеств а и в, симметрической разности множеств а и в.
- •Какая алгебраическая структура называется кольцом? Приведите пример кольца.
- •Какая алгебраическая структура называется полем? Для поля Галуа gf(2) задайте с помощью таблиц бинарные операции сложения и умножения.
- •Дайте определение метрического пространства. Перечислите аксиомы, которым должна удовлетворять метрика.
- •Дайте определение метрического пространства. Приведите не менее двух примеров метрических пространств, указав используемые в них метрики.
- •Какие метрики обычно используются в пространствах Rn, c[a, b], l2[a, b]? Что это за пространства?
- •Что называется нормой элемента произвольного векторного пространства? Каким условиям должен удовлетворять способ введения нормы?
- •Какое пространство называется нормированным? Приведите не менее двух примеров нормированных пространств, указав в них способ введения нормы.
- •К ак определяется евклидово расстояние в Rn, l2?
- •Дайте определение линейного пространства. Перечислите аксиомы лп.
- •Приведите примеры линейных пространств (не менее двух).
- •Дайте определение линейной комбинации векторов из l.
- •Дайте определение линейной независимости системы векторов из l.
- •Дайте определение базиса конечномерного лп. Какие важнейшие свойства базиса должны выполняться в лп?
- •Приведите не менее трех примеров базисных систем для различных лп (с формулами или рисунками).
- •Дайте определение скалярного произведения для лп. Перечислите свойства скалярного произведения.
- •Приведите и докажите неравенство Коши-Буняковского для произвольных линейных пространств.
- •Как в евклидовых пространствах норму и метрику согласовывают со скалярным произведением?
- •Дайте определения пары ортогональных векторов, системы ортогональных векторов, ортонормальной системы. Докажите, что для ортогональной системы справедливо равенство .
- •Дайте определение линейного оператора.
- •Приведите примеры линейных операторов.
- •Как определяются сумма и произведение линейных операторов, степень оператора и функция от оператора?
С формулируйте и проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера – Венна определения разности множеств а и в, симметрической разности множеств а и в.
Симметрическая разность множеств А и В - объединение двух разностей А \ В и В \ А. Симметрическая разность обозначается символом : А В = (А \ В) (В \ А)
Продолжите равенство: А (В \ С) = (А В) \ С
Что называют единичным (нейтральным) элементом по отношению к бинарной операции? Что называют обратным элементом по отношению к бинарной операции? Что представляют собой нейтральный и обратный элементы по отношению к операциям сложения и умножения на множестве вещественных чисел?
Единичный (нейтральный) элемент по отношению к введенной бинарной операции - элемент е А, такой, что для любого элемента а, принадлежащего множеству А, выполняется условие е а = а е = а.
Обратный элемент по отношению к бинарной операции – элемент, который в сочетании с заданным элементом в рамках некоторой бинарной операции дает нейтральный элемент. а-1 * а = е
На множестве вещественных чисел по отношению к операции сложения: 0 – нейтральный, -х – обратный; умножение: 1 – нейтральный, 1\х – обратный. х – элемент множества.
Дайте определения следующих алгебраических структур: полугруппа, моноид, группа, абелева группа. Какую алгебраическую структуру образует множество целых чисел Z по отношению к операции сложения? Ответ аргументируйте.
Полугруппа – если имеем дело с бинарной ассоциативной операцией – результат операции попадает в то же множество и (а х b) х с = а х (b x c), где х – операция.
Моноид – полугруппа + наличие нейтрального элемента
Группа – моноид + каждый элемент (кроме нейтрального и нулевого) обратим
Абелева группа – группа + операция коммутативна ( а+б=б+а)
Множество целых чисел по операции сложение образует абелеву группу. Имеем дело с бинарной ассоциативной операцией; нейтральный элемент: 0; обратный элемент: -х; х+а=а+х. х и а – элементы.
Дайте определения следующих алгебраических структур: полугруппа, моноид, группа, абелева группа. Какую алгебраическую структуру образует множество вещественных чисел R по отношению к операции умножения? Ответ аргументируйте.
Полугруппа – если имеем дело с бинарной ассоциативной операцией – результат операции попадает в то же множество и (а х b) х с = а х (b x c), где х – операция.
Моноид – полугруппа + наличие нейтрального элемента
Группа – моноид + каждый элемент (кроме нейтрального и нулевого) обратим
Абелева группа – группа + операция коммутативна ( а+б=б+а)
Множество вещественных чисел по операции умножение образует абелеву группу. Имеем дело с бинарной ассоциативной операцией; нейтральный элемент 1; обратный элемент 1\х; х+а=а+х. х и а – элементы
Дайте определения следующих алгебраических структур: полугруппа, моноид, группа, абелева группа. Какую алгебраическую структуру образует множество натуральных чисел N по отношению к операции сложения? Ответ аргументируйте.
Полугруппа – если имеем дело с бинарной ассоциативной операцией – результат операции попадает в то же множество и (а х b) х с = а х (b x c), где х – операция.
Моноид – полугруппа + наличие нейтрального элемента
Группа – моноид + каждый элемент (кроме нейтрального и нулевого) обратим
Абелева группа – группа + операция коммутативна ( а+б=б+а)
Множество натуральных чисел по операции сложение образует полугруппу. Имеем дело с бинарной ассоциативной операцией, а нейтрального элемента уже нет.