Вопросы к теоретическому зачету по дисциплине МАРТ. 3 курс ФРТ.

1. Дайте определение понятия множества. Приведите примеры множеств.

Множеством называют совокупность объектов, объединенных общими свойствами. Множество натуральных чисел 1, 2, …, п, … обозначают N, множество целых чисел 0, ± 1, ± 2, …, ± n, … – Z.

2. Назовите основные операции над множествами и укажите, в чем они заключаются.

1. Если А С В и В С А, то множества А и В равны, т. е. А = В.

2. Суммой (объединением) множеств А и В называют множество S, состоящее из всех элементов множеств А и В и не содержащее никаких других элементов.

3. Пересечением множеств А и В, называют множество P, состоящее из элементов, являющихся общими для множеств А и В и не содержащее никаких других элементов.

4. Разностью множеств А и В называют множество R, состоящее из тех элементов множества А, которые не входят в множество В. R = А \ В.

3. Какие множества называются эквивалентными? Каким условиям удовлетворяет отношение эквивалентности?

Если между элементами множеств А и В установлено взаимно однозначное соответствие, то такие множества называются эквивалентными, что обозначается как А ~ В. Отношение эквивалентности удовлетворяет следующим условиям:

рефлексивность: А ~ А; симметричность: если А ~ В, то В ~ А; транзитивность: если А ~ В и В ~ С, то А ~ С

Равные множества эквивалентны. Из эквивалентности множеств равенство в общем случае не следует.

4. Множества А и В – конечны, А  В. n_A – мощность множества А, n_В – мощность множества В. Какое из приведенных соотношений правильно: а) n_A > n_В; б) n_A < n_В; в) n_A = n_В + 1; г) n_A = n_В; д) n_В = n_A + 1?

5. О пределите и проиллюстрируйте с помощью диаграмм Эйлера – Венна операции объединения и пересечения множеств. Являются ли эти операции коммутативными и ассоциативными? Запишите соответствующие соотношения.

Операции объединения и пересечения являются коммутативными А  В = В  А и А  В = В  А и ассоциативными (АВ)  С = А  (ВС) и А  (В  С) = (А  В ) С)

Продолжите равенство: А  (В  С) = (А  В ) С)

6. Изобразите на диаграмме Эйлера–Венна множество (А + С)(В + С) и убедитесь в том, что оно равно АВ + С.

7. В чем состоит операция декартового произведения множеств? Что называют степенью множества? Пусть R – множество вещественных чисел. Какие множества будут получены в результате операций R  R и R  R  R ?

Декартовым произведением множеств А и В называется множество D, элементами которого называются всевозможные упорядоченные пары элементов множеств А и В, обозначаемые как < a, b >, т. е. D = A  B = {d; d = < a, b >, a  A, B  B}.

Степенью множества называют п-кратное декартово произведение множества на самого себя. R  R = R2 является множеством всех точек на плоскости, R  R  R – множество всех точек пространства, а степень порядка n множества R определяет множество п-мерных векторов Rn.

8. Что такое мощность конечных множеств? Для множеств A = {–2, 0, 1, 4, 9} и B = {–2, 4, 3, 1} найдите А  В, А  В, А \ В, В \ А и А  В. Определите мощность получаемых в результате данных операций множеств.

Число элементов эквивалентных между собой конечных множеств определяет мощность этих множеств.

АВ ={-2,0,1,3,4,9} М=6 АВ={-2,1,4} М=3 А \ В={0,9} М=2В \ А={3} М=1 А  В={0,3,9} М=3

9. Множества С и D имеют мощности, равные и соответственно. Известно, что С и D не являются эквивалентными. Также известно, что в множестве C есть подмножество C^*, эквивалентное множеству D. Какое из следующих нижеприведенных выражений правильно: а) > ; б) ≥ ; в) ≤ ; г) < ; д) = ?

10. Установите, какие из приведенных ниже выражений правильны: а) (А  В) \ С = А  (В \ С) - нет; б) АВС = АВ (С  В) - нет;

11. Установите, какие из приведенных ниже выражений правильны: а) А  В = (А \ АВ)  В - да; б) А  В = (А  В)(А  В) - да;

в) (АВ  ВС  СА)  (А  В  С) - да.