Тема 6. Компактные множества
Основные понятия: открытое покрытие множества, сходящиеся последовательности, -сеть множества, относительно компактные множества, теорема Хаусдорфа, теорема Арцела-Асколи, критерий относительной компактности в пространствах lp, Lp[a,b] (p1).
Примеры решения задач.
Задача № 1.
Выяснить, является ли относительно
компактным в пространстве
множество функций
.
Решение.
Множество М
в пространстве
относительно компактно, если оно
равномерно ограничено и равностепенно
непрерывно. Данное множество не является
равномерно ограниченным, так как
,
что
и поскольку
,
то норму
можно сделать больше любой наперед
заданной константы с.
Задача № 2. Будет ли относительно компактным в множество функций
?
Решение.
По определению множество М
является равностепенно непрерывным,
если
такое, что
вытекает, что
.
Покажем, что наше множество не является
равностепенно непрерывным, т.е.
такое, что какое бы
мы не взяли, найдутся точки
что хотя
,
но
.
Действительно,
и
;
значит, М
не относительно компактное.
Задача № 3.
Выяснить, является ли относительно
компактное множество М
в пространстве
,
где
.
Решение. Используя теорему Арцела, покажем, что М равномерно ограниченно и равностепенно непрерывно.
1) М
равномерно ограниченно, если
такое, что
.
Пусть
,
тогда
.
2) М
равностепенно непрерывно, если
такое, что
и
вытекает, что
для всех
.
Для доказательства равномерной непрерывности покажем, что
ограничена первая
производная функция
.
Воспользуемся
равенством:
;
тогда
.
Покажем, что
ограничена. Имеем
.
Тогда
и поэтому
.
А это означает,
что
.
Следовательно,
Пусть
такие,
что
,
тогда
.
В этом случае
,
что
вытекает, что
.
А это означает равностепенную непрерывность
множества М.
Таким образом, М относительно компактно.
Задача № 4.
Выяснить, является ли множество М
относительно компактным в
,
где
.
Решение.
Функции вида
принадлежат множеству
М, но
последовательность
не содержит последовательности Коши,
так как при k>n
.
По определению, множество М не относительно компактно.
Задача № 5.
Выяснить, будет ли множество М
компактным в
,
если
.
Решение.
Рассмотрим отображение
,
где
.
Заметим, что
для
.
Данное отображение является равномерно
непрерывным. Поэтому, если M
компактно, то по теореме Вейерштраса
,
что
.
Пусть
и
.
Следовательно
.
Поэтому
такой, что
,
но тогда
.
Однако
не принадлежит множеству M.
А это означает, что M
не компактно.
Задание №1. Являются ли относительно компактными следующие множества в пространстве ?
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
Задание №2. Является ли множество M относительно компактным в пространстве lp? В случае положительного ответа построить для множества конечную -сеть для =0,1.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
