2. Теоретическая подготовка. Вывод формул для характеристик вибрации.

2.1 Математическая модель и ее характеристики.

В школе явления динамики мы теоретически изучаем с посредством: анализа действующих на систему сил (законы Ньютона) или анализа законов сохранения в замкнутой системе (энергия, импульс). Перед применением этих инструментов теоретического исследования надо создать математическую модель объекта исследования (механическая вибрация) используя ее экспериментальное описание из п.1.

Из описания вибраций в п.1 можно сделать вывод, что характеристиками вибрации являются ее линейная частота (круговая частота ) и амплитуда смещений центра масс системы A. Основной задачей изучения вибраций как раз и является нахождение этих характеристик.

Очевидно, что циклические изменения координат (x,y)_ц.м. центра масс МТ при его равномерном движении по окружности являются гармоническими (синусо/косинусоидальными) функциями от времени с частотой равной частоте вращения вала электромотора. Удобно задать вибрацию центра масс системы вдоль вертикальной оси (когда МТ лежит на горизонтальной поверхности) следующим модельным уравнением (при t=0 вертикальное смещение центра масс максимально, угол поворота отсчитывается от вертикальной оси по часовой стрелке и равен нулю). Так мы создали математическую модель объекта исследования. Теперь нашей задачей является составление системы двух (по числу неизвестных) независимых уравнений, в которые бы входили только измеряемые экспериментально величины, известные константы и искомые характеристики вибрации.

2.2 Теоретическое описание первого эксперимента.

Вспомним о способности вибрирующего объекта уменьшать силу трения скольжения о поверхность. Наверное, все наблюдали, как МТ, при включении виброзвонка, полз по наклонной плоскости стола, хотя до этого, с выключенным виброзвонком, МТ покоился.

Тут сила вибрации – это сила инерции (центробежная сила), возникающая в неинерциальной системе отсчета центра масс МТ при работе виброзвонка. Можно сказать и по-другому: сила вибрации – это центростремительная сила, возникающая в инерциальной системе отсчета, связанной с центром окружности, которую описывает центр масс МТ при работе виброзвонка.

Рассмотрим систему, состоящую из МТ, пружины и горизонтальной плоскости (рис.2). Проведем анализ сил, действующих на МТ, когда МТ (виброзвонок выключен) покоится на горизонтальной плоскости при максимально возможном растяжении (деформации) пружины. Все силы уравновешены: сила тяжести равна силе реакции опоры; сила трения покоя равна силе упругости пружины. При включении виброзвонка появляются вертикальная и горизонтальная составляющие силы вибрации, действующие на центр масс МТ, и зависящие от времени и частоты. Пусть обе составляющие силы вибрации направлены перпендикулярно к пружине, тогда только первая влияет на силу реакции МТ. Вертикальная составляющая может, как усиливать силу реакции опоры МТ, так и ослаблять ее. В свою очередь, сила реакции входит в выражение для максимальной силы трения покоя (силы трения скольжения), поэтому после включения виброзвонка должен нарушиться баланс сил не только в вертикальном направлении, но и в горизонтальном (вдоль пружины). Таким образом, МТ начнет рывками двигаться к пружине до достижения нового положения равновесия, пока уменьшающаяся сила деформации пружины может преодолеть минимальную (за цикл вращения электромотора) силу трения скольжения.

[A] Найдите вертикальную составляющую силы вибрации (через параметры A, и массу МТ) в зависимости от времени, как вертикальную проекцию центробежной силы.

Будем считать известными (их можно измерить в эксперименте) деформации пружины (см. рис.2), соответствующие двум положениям равновесия, в случаях с не работающим и работающим виброзвонком.

[Б] Составив систему уравнений сил для этих двух случаев, исключите неизвестные величины жесткости пружины, массы МТ, коэффициента трения, и получите уравнение для характеристик вибрации, куда бы, кроме амплитуды и частоты, входили только и известные константы.

Таким образом мы получили первое уравнение для характеристик вибраций.

2.3 Теоретическое описание второго эксперимента.

Необходимо составить второе уравнение для характеристик вибраций, чтобы найти по отдельности амплитуду и частоту вибрации. Для этого воспользуемся способностью вибрирующего объекта создавать волны на поверхности жидкости при контакте с ней. Второй эксперимент заключается в измерении длин таких волн [В]. Его техника выполнения описана ниже в п.3.2. Но сначала узнаем, как связана длина этих волн с характеристиками вибраций. Очевидно, частота вибраций МТ равна частоте вызванных им волн.

Найдем формулу частоты мелких капиллярных поверхностных волн (мелкие капиллярные волны – это волны, для которых определяющую роль играет сила поверхностного натяжения, а не сила тяжести). Для этого можно применить теорию размерностей, которая позволяет установить вид искомой формулы с точностью до безразмерного коэффициента K. Сначала надо определить от каких параметров зависит интересующая характеристика объекта. Потом надо установить размерности этих параметров через независимые единицы измерения в одной и той же системе единиц (Например, в СИ независимые единицы измерения: кг, м, с, а вот единица измерения силы - уже зависимая величина Н=кг·м/c²). Наконец представим искомую формулу в виде произведения произвольных степеней этих параметров, а вместо самих параметров подставьте их размерности. Далее следует преобразовать формулу так, чтобы в правой и в левой ее частях каждая независимая единица измерения встречалась бы только один раз в некоторой новой степени. Показатели степеней параметров можно найти, приравнивая показатели степеней независимых единиц измерений этих параметров с обеих сторон формулы. Почему искать формулу нужно в виде произведения параметров? Почему, например, не в виде суммы нескольких отдельных комплексов этих же параметров? Дело в том, что отдельные слагаемые такой суммы должны были бы обладать одинаковой размерностью, но тогда различные комбинации одних и тех же независимых единиц измерений (для отдельных комплексов) должны совпадать, а это противоречит определению независимости единиц измерений.

В нашем случае, частота мелких волн в принципе должна зависеть от характеристик самих волн (длина волны) и от свойств поверхности жидкости, по которой распространяются волны (упругие свойства, вязкие свойства и свойства инертности). Скорость волн в формулу для частоты вводить не надо, поскольку она не является независимым параметром, т.к. однозначно определяется через частоту и длину волны. Длину волны на поверхности жидкости (ее размерность [ ]=м) узнаем из данного эксперимента. Упругие свойства воды (способность поверхности воды возвращаться к состоянию равновесия после ее возмущения) характеризуются таким параметром, как коэффициент поверхностного натяжения =0.073кг/с² (в н.у.). Вязкими свойствами (способностью жидкости гасить волны со временем) будем пренебрегать, т.к. вода одна из самых маловязких жидкостей. Инертные свойства жидкости (способность приповерхностных слоев жидкости сохранять скорость своего движения вопреки внешним воздействиям) характеризуются параметром массы - плотностью =1000кг/м³. Исходя из всего вышеперечисленного, логично представить формулу частоты как произведение . Безразмерный коэффициент известен из точной теории гидродинамики и равен . Приравнивая размерности независимых единиц измерений справа и слева в формуле частоты, найдем . Сравнивая размерности, получим уравнения: .

Их решение . Таким образом, уравнение имеет вид .

[Г] Найдите численное значение линейной частоты по полученной формуле, воспользовавшись данными эксперимента [В].

[Д] Используя выражение для линейной частоты, самостоятельно найдите формулу амплитуды вибраций из первого уравнения (п.2.2) через известные константы и величины деформаций пружины.

[Е] Подставьте, осредненные по числу измерений в первом эксперименте, значения величин деформаций пружины для двух разных поверхностей в выражение амплитуды вибрации и сравните полученные значения амплитуды. Выполняются ли требования [Ж] в ваших экспериментах для разных горизонтальных поверхностей? Если не выполняются, то предположите почему.