1.2. Методы проецирования

Для построения изображений предметов на плоскости в НГ используется метод проецирования. Различают два метода проецирования:

а) центральное;

б) параллельное, которое в свою очередь подразделяется на прямоугольное (ортогональное) и косоугольное.

Центральное проецирование

Наиболее общим методом проецирования является метод центрального проецирования, поскольку он целиком совпадает с процессом нашего зрения, с помощью которого мы воспринимаем окружающий мир. Поэтому рассмотрим суть центрального проецирования на примере рис.1.1.

Допустим, в пространстве заданная некоторая плоскость проекций П₁ и вне ее границ точка - центр проекций. Возьмем также в этом пространстве произвольные точки ..., которые нужно изобразить на плоскости П₁. Необходимо сразу предостеречь, что изображение каждой точки должно быть определенным и единственным. Тогда, учитывая то, что через две точки пространства проходит только одна прямая и прямая пересекает плоскость только в одной точке, за проецирующие линии примем прямые.

Итак, для построения проекции некоторой точки на плоскости П₁ через эту точку и центр проекций проводят проецирующий луч до пересечения с плоскостью проекций П₁ в точке .

П1 – плоскость проекций. – центр проекций. – точки объекта в пространстве. , , – проецирующие лучи. – центральные проекции точек на плоскость П1 (точки пересечения лучей с плоскостью П1).

Рис.1.1. Центральное проецирование

При заданном аппарате проецирования - зафиксированном положении точки и плоскости П₁, каждая точка пространства будет иметь одну и только одну центральную проекцию. Однако, обратное утверждение: каждой центральной проекции точки однозначно отвечает точка пространства, будет не верно, поскольку, например, множество точек , ... прямой (рис. 1.1) имеют одну и ту же проекцию - .

Центральное проецирование имеет ряд свойств, которые сохраняются при любых преобразованиях. Такие свойства называются инвариантами. Отметим главные из них:

1) Проекция точки, которая не совпадает с центром проецирования, есть также точка (рис.1.2):

2) Если прямая линия не проходит через центр проецирования, то ее проекцией также будет прямая линия (рис.1.2):

3) Если прямая линия проходит через центр проецирования, то ее проекцией будет точка (рис.1.2):	Рис.1.2.
4) Если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой (рис.1.3): 5) Точка пересечения прямых проецируется в точку пересечения их проекций (рис.1.3):	Рис.1.3.

По принципу центрального проецирования работают фотоаппараты и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых - лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе художники, архитекторы, дизайнеры и многие другие специалисты.

Однако, центральные проекции не обратимы - невозможно по изображению полностью восстановить геометрические формы предмета.

Параллельное проецирование

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального, когда центр проецирования удален в бесконечность. В этом случае все проецирующие лучи между собой будут параллельны. В результате этого центральное проецирование перейдет в параллельное (рис.1.4), а бесконечно отдаленный центр будет обозначаться вектором , параллельно которому должны проводиться все проецирующие лучи. Аппарат параллельного проецирования полностью определяется положением плоскости П₁ и направлением проецирования .

В общем случае, когда проецирующие лучи с плоскостью проекций П1 составляют угол , который не равняется 90°, параллельное проецирование называется косоугольным (рис.1.4):	Рис.1.4. Косоугольное проецирование
Если угол наклона проецирующего луча составляет с плоскостью проекций 90°, то такое параллельное проецирование называется прямоугольным или ортогональным (рис.1.5):	Рис.1.5. Прямоугольное (ортогональное) проецирование

Параллельное проецирование имеет также название цилиндрического, поскольку совокупность лучей ... в просторные образовывает цилиндрическую поверхность.

При параллельном проецировании сохраняются свойства центрального проецирования и добавляются следующие:

1. Если прямые линии параллельны между собой в пространстве, то параллельны и их проекции (рис.1.6):	Рис.1.6.
2. Если точка делит отрезок [ ] в отношении , то в том же отношении будут разделены проекции этого отрезка соответствующими проекциям точки :	Рис.1.7.

В параллельном проецировании, как и при центральном проецировании, каждая точка пространства при заданном аппарате проецирования, также имеет одну и только одну параллельную проекцию. Но, как и раньше, обратное утверждение не имеет места, поскольку множество точек ... прямой (рис. 1.4-1.5) имеют одну и одну и ту же проекцию - .

Поэтому, к проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования:

1. Обратимость - восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) - возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой.

2. Наглядность - чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета.

3. Точность - графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты.

4. Простота - изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.