Розділ 7. ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

При розв’язанні багатьох задач математики, техніки, економіки та інших галузей науки буває важко встановити закон, який зв’язує шукані і відомі змінні величини. Але вдається встановити зв’язок між похідними або диференціалами цих змінних, який виражається рівняннями або системами рівнянь. Такі рівняння називають диференціальними рівняннями. Термін “диференціальне рівняння” введений у 1676 році Г.В.Лейбніцем.

Ми розглянемо тільки рівняння з функціями однієї змінної і звичайними похідними, які називають звичайними диференціальними рівняннями.

§ 1. Основні поняття про диференціальні рівняння

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну x, шукану функцію y=f(x) і її похідні або диференціали різних порядків, тобто рівняння

. (7.1)

Важливо зрозуміти, що шукана функція у диференціальному рівнянні входить під знак диференціала або під знак похідної.

Означення. Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної від невідомої функції, яка входить у диференціальне рівняння.

Так, рівняння є диференціальним рівнянням першого порядку, а рівняння - диференціальним рівнянням другого порядку.

Означення. Розв’язком диференціального рівняння (7.1) називається така функція , яка при підстановці у рівняння (7.1) перетворює його в тотожність.

Наприклад, для диференціального рівняння

(7.2)

розв’язком є функція . Знайдемо похідну і підставимо у рівняння, одержимо:

Слід зауважити, що y=x² не єдиний розв’язок рівняння. Це

рівняння має нескінчену множину розв’язків, які можна записати так: y=x²+C.

§ 2. Диференціальні рівняння першого порядку

Означення. Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну x , шукану функцію y=f(x) і її першу похідну:

F(x,y,y′)=0. (7.3)

Оскільки похідну можна записати у вигляді відношення диференціалів, то в рівняння похідна може не входити, а будуть входити диференціали невідомої функції і незалежної змінної.

Якщо рівняння (7.2) розв’язати відносно у′, то воно матиме вигляд :

або . (7.4)

Прості приклади показують, що диференціальне рівняння може мати нескінчену множину розв’язків. Це ми бачимо на прикладі рівняння (7.2). Легко переконатись також , що диференціальне рівняння має розв’язками функції , а диференціальне рівняння функції , де - довільне число.

Як бачимо, в розв’язок наведених диференціальних рівнянь входить довільне число . Надаючи сталій різних значень, будемо одержувати різні розв’язки диференціального рівняння.

Означення. Загальним розв’язком диференціального рівняння (7.3) називається функція

у=φ(х,С), (7.5)

яка залежить від однієї довільної сталої і задовольняє диференціальне рівняння при довільному значенні .

Якщо функція (7.5) виражається неявно, тобто у вигляді

Ф(х,у,С)=0, (7.6)

то (7.6) називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Означення. Частинним розв’язком диференціального рівняння (7.3) називається такий розв’язок , який одержується із загального розв’язку (7.5) при деякому конкретному значенні сталої C.

Ф(х,у,С₀) називається частинним інтегралом диференціального рівняння.

На практиці при розв’язанні конкретних задач часто доводиться знаходити не всі розв’язки, а розв’язок, який задовольняє певним початковим умовам. Однією із таких задач є задача Коші, яка для диференціального рівняння першого порядку формулюється так : серед усіх розв’язків диференціального рівняння (7.3) знайти такий розв’язок , який при заданому значенні незалежної змінної дорівнює заданому значенню , тобто

або . (7.7)

Умова (7.7) називається початковою умовою розв’язку.

Покажемо на прикладі, як знайти частинний розв’язок диференціального рівняння, коли відомий загальний розв’язок і задана початкова умова.

Ми бачимо, що диференціальне рівняння має загальний розв’язок . Задамо початкову умову . Підставимо ці значення в загальний розв’язок, одержимо , звідки . Отже, функція задовольняє і диференціальне рівняння і початкову умову.

Відповідь на питання про те, за яких умов рівняння (7.4) має розв’язок, дає теорема Коші.

ТЕОРЕМА ( про існування та єдиність розв’язку). Якщо функція і її частинна похідна визначені і неперервні в області , яка містить точку , то існує єдиний розв’язок рівняння (7.4), який задовольняє початковій умові : .

Теорема Коші дає достатні умови існування єдиного розв’язку диференціального рівняння (7.4). Зауважимо, що в умові теореми не вимагається існування частинної похідної .

Графік довільного частинного розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою. Загальному розв’язку відповідає сім’я кривих. Так ми перевірили, що рівняння має загальний розв’язок , то йому відповідає сім’я прямих, які проходять через початок координат (мал. 1).

Р івняння має загальний розв’язок . Йому відповідає сім’я рівносторонніх гіпербол (мал.2).

Якщо задана початкова умова , то це означає, що задана точка через яку повинна проходити інтегральна крива, яка відповідає шуканому частинному розв’язку. Таким чином, відшукання частинного розв’язку диференціального рівняння за заданою початковою умовою геометрично означає, що із сім’ї інтегральних кривих ми вибираємо ту, що проходить через точку .

Треба зауважити, що знаходження розв’язку диференціального рівняння часто називають інтегруванням рівняння. При цьому операцію інтегрування функцій називають квадратурою.

Загального методу розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку не існує. Розглянемо деякі методи розв’язування

окремих типів диференціальних рівнянь.