§7. Диференціювання функцій, заданих неявно та параметрично

Нехай функція від аргумента задана неявно рівністю

Для знаходження похідної по треба продиференціювати тотожність , використовуючи правило диференціювання складної функції і враховуючи, що залежить від . Після цього розв’язати рівняння, яке одержали відносно .

Приклад. Знайти , якщо

Розв’язування.Продиференціюємо задане рівняння по

, ,

Функція від може бути заданою параметрично у вигляді системи рівнянь: , де - параметр.

Якщо змінюється, то і також змінюються і точка на площині опише деяку лінію, яка є графіком даної залежності від Якщо ця система рівнянь задає функцію від і при цьому функції і диференційовані, причому то знайдемо .

Надамо приросту , тоді та одержать прирости відповідно , причому при і , тому що задані функції неперервні.

Отже, .

Тобто, .

Приклад. Знайти похідну функції заданої параметрично

.

Розв’язування. Знаходимо і : ,

Тоді .

§8. Похідні деяких елементарних функцій

8.1. Похідна логарифмічної функції

Нехай .Знайдемо її похідну, користуючись означенням. Надамо аргументу х приріст такий, що Знаходимо приріст функції :

.

Складемо відношення приростів

.

Обчислюємо границю цього відношення при , ввівши

заміну .

При цьому ми використали неперервність логарифмічної функції і другу визначну границю.

При а = е маємо

8.2. Похідна від показникової функції

Нехай Знайти .

Прологарифмуємо обидві частини цієї рівності при основі е: . Продиференціюємо обидві частини одержаної рівності, використавши правило диференціювання неявної функції: . Звідси,

Якщо а = е, то .

8.3. Похідна степеневої функції

Нехай де - довільне дійсне число. Функція

визначена для довільних при . Тому її можна

прологарифмувати . Використавши правило

диференціювання неявної функції, одержимо .

Звідси, .

§9. Таблиця похідних

Враховуючи правила диференціювання , встановлені формули похідних і узагальнивши їх на складні функції, складемо таблицю основних формул диференціювання.

№ /п	Функція	Похідна
І	y = C	= 0
II	y = x	= 1
III	y = Cu
IV	y = u v
V	y = uv
VI
VII
VIIa)
VIIб)
VIII
IX
X
XI
XII
XIII
XIV
XV
XVI
XVIa)
XVII
XVIIa)