
- •Розділ 4. Диференціальне числення функцій однієї змінної
- •§1. Означення похідної
- •3. Складаємо відношення приростів
- •§2. Задачі, що приводять до поняття похідної
- •2.1.Геометричний зміст похідної
- •2.2. Дотична і нормаль до графіка функції
- •2.3. Механічний зміст похідної
- •2.4. Економічний зміст похідної
- •§3. Зв’язок між неперервністю та диференційовністю фукції
- •§4. Основні правила диференціювання
- •§5 Похідна від складної функції
- •§6. Похідна від оберненої функції
- •6.1. Поняття оберненої функції і її похідна
- •6.2.Похідні від обернених тригонометричних функцій
- •§7. Диференціювання функцій, заданих неявно та параметрично
- •§8. Похідні деяких елементарних функцій
- •8.1. Похідна логарифмічної функції
- •8.2. Похідна від показникової функції
- •Прологарифмуємо обидві частини цієї рівності при основі е: . Продиференціюємо обидві частини одержаної рівності, використавши правило диференціювання неявної функції: . Звідси,
- •8.3. Похідна степеневої функції
- •§9. Таблиця похідних
- •9.1. Приклади на використання таблиці похідних
§5 Похідна від складної функції
Нехай
у
є
функція від аргументу u,
тобто
y = f(u),
і
нехай аргумент u
є
деяка функція від незалежної змінної
x:
.Тоді
y
є функція від x:
В таких випадках говорять, що у
є функція від функції або складною
функцією від аргументу x.
Нехай ми вміємо обчислювати похідну від у по аргументу и, а також похідну від аргументу и по незалежній змінній х. Встановимо, як обчислюється похідна від у по незалежній змінній х.
ТЕОРЕМА.
Якщо
функції
і
мають
похідні,
то похідна складної функції
дорівнює похідній від функції у
по проміжному аргументу и,
помноженій
на похідну від проміжного аргументу и
по незалежній змінній х.
Тобто,
.
Доведення. Надамо x довільний малий приріст Δx. Тоді
функція
u=φ(x)
дістане приріст Δu,
а функція y
= f(u)
дістане приріст
,
викликаний приростом
. Оскільки похідна
за умовою існує, то
.
Звідки
де
разом з
.
А
тому
Розділивши
обидві частини рівності
на
,
маємо
.
Перейдемо до границі при
і , врахувавши, що внаслідок неперервності функції u , що зумовлює і , одержимо
або
,
що доводить теорему.
Зауваження. В даній теоремі розглянуто складну функцію, де y залежить від x через проміжну змінну u. Можлива і більш складна залежність з двома, трьома і більшим числом проміжних змінних. При цьому правило диференціювання залишається тим же.
Так, наприклад, якщо y=f(u), де u=φ(t), а t=ψ(x), то
.
Приклад 1. Знайти похідну функції y = sin3 x.
Розв’язування.Покладаємо u = sin x , тоді y = u3 .
Звідси
,
.
Отже,
.
При певному досвіді проміжний аргумент не пишуть, а використовують його неявно.
Приклад
2.
Знайти y′,
якщо
y
= tg (
+4)
.
Розв’язування.
Пам’ятаючи, що u
= x
+
4
, знаходимо
.
Приклад 3. Знайти похідну функції
.
Розв’язування. Цю функцію можна розглядати як складну з двома проміжними змінними
де
,
§6. Похідна від оберненої функції
6.1. Поняття оберненої функції і її похідна
Нехай y=f(x) деяка диференційована функція від аргументу x.
Якщо
в цьому рівнянні у
розглядати як аргумент, а х
як функцію, то ця функція
,
де
,
називається оберненою до даної функції.
Наша
задача, знаючи похідну
,
знайти
.
Теорема 1. Похідна функції , оберненої до даної функції y = f(x) дорівнює величині, оберненій до похідної даної функції, якщо остання не дорівнює нулю.
Тобто,
або
.
Доведення.
Нехай дана функція y
= f(x)
і обернена їй функція
.
Тоді
=
.
Отже,
х
можна
розглядати як складну функцію.
Диференціюючи цю рівність по х
,
і враховуючи , що
застосовуючи попередню теорему про
диференціювання складної функції, маємо
.
Звідси
або
Теорема доведена.
6.2.Похідні від обернених тригонометричних функцій
Наслідок 1. Справедливі формули:
;
Доведення.
Якщо
,
то обернена до неї
Оскільки
а
то
.
Виразимо
через х.
Маємо
Тоді
Перед коренем беремо знак
“+”,
тому що cos
y
для всіх
додатний. Отже,
.
Аналогічно
доводиться
.
Наслідок
2.
Похідні функцій
x,
знаходяться
за формулами:
;
.
Доведення.
Оберненою до функції
є функція
.
Оскільки
то
Виразимо
через х.
Маємо tg
y = x.
З шкільного курсу відомо
Тому
.
Отже,
=
.
Аналогічно
доводиться
.